Номер 855, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 855, страница 250.

Условие.

855 Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно:

1) $f(x) = x - \ln x;$

2) $f(x) = x \ln x;$

3) $f(x) = x^2 \ln x;$

4) $f(x) = x^3 - 3 \ln x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = x - \ln x$. Область определения функции (ОДЗ) задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным. Таким образом, $D(f) = (0, +\infty)$.
Найдём производную функции: $f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.
Для удобства анализа приведём производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{x-1}{x}$.
Теперь найдём значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{x-1}{x} = 0$. Поскольку $x$ находится в знаменателе, $x \neq 0$. Это условие выполняется в нашей ОДЗ. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $x-1=0$, откуда $x=1$.
2. Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{x-1}{x} > 0$. В области определения $x > 0$, поэтому знаменатель всегда положителен. Значит, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.
3. Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{x-1}{x} < 0$. Так как $x > 0$, неравенство равносильно $x-1 < 0$, откуда $x < 1$. С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна нулю при $x=1$; положительна при $x \in (1, +\infty)$; отрицательна при $x \in (0, 1)$.

2) Дана функция $f(x) = x \ln x$. Область определения функции: $x > 0$.
Найдём производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
Теперь найдём значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$\ln x + 1 = 0$, откуда $\ln x = -1$, и $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
2. Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\ln x + 1 > 0$, откуда $\ln x > -1$. Так как логарифмическая функция с основанием $e > 1$ возрастающая, то $x > e^{-1}$, то есть $x > \frac{1}{e}$.
3. Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\ln x + 1 < 0$, откуда $\ln x < -1$, и $x < e^{-1}$, то есть $x < \frac{1}{e}$. С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < \frac{1}{e}$.
Ответ: производная равна нулю при $x=\frac{1}{e}$; положительна при $x \in (\frac{1}{e}, +\infty)$; отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{e})$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 \ln x$. Область определения функции: $x > 0$.
Найдём производную функции, используя правило произведения:
$f'(x) = (x^2 \ln x)' = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $f'(x) = x(2 \ln x + 1)$.
Теперь найдём значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$x(2 \ln x + 1) = 0$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $x \neq 0$. Следовательно, равенство возможно только если $2 \ln x + 1 = 0$, откуда $2 \ln x = -1$, $\ln x = -\frac{1}{2}$, и $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
2. Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$x(2 \ln x + 1) > 0$. Так как $x > 0$, то знак всего выражения совпадает со знаком второго множителя. Неравенство равносильно $2 \ln x + 1 > 0$, откуда $\ln x > -\frac{1}{2}$, и $x > e^{-1/2}$, то есть $x > \frac{1}{\sqrt{e}}$.
3. Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$x(2 \ln x + 1) < 0$. Так как $x > 0$, то $2 \ln x + 1 < 0$, откуда $\ln x < -\frac{1}{2}$, и $x < e^{-1/2}$, то есть $x < \frac{1}{\sqrt{e}}$. С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$.
Ответ: производная равна нулю при $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$; положительна при $x \in (\frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty)$; отрицательна при $x \in (0, \frac{1}{\sqrt{e}})$.

4) Дана функция $f(x) = x^3 - 3 \ln x$. Область определения функции: $x > 0$.
Найдём производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3 \ln x)' = (x^3)' - 3(\ln x)' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 - \frac{3}{x}$.
Приведём к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{3x^3 - 3}{x} = \frac{3(x^3-1)}{x}$.
Теперь найдём значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{3(x^3-1)}{x} = 0$. Так как $x \neq 0$, то числитель должен быть равен нулю: $3(x^3-1)=0$, откуда $x^3-1=0$, $x^3=1$, и $x=1$.
2. Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{3(x^3-1)}{x} > 0$. В области определения $x > 0$, поэтому знаменатель и множитель 3 положительны. Знак дроби определяется знаком выражения $(x^3-1)$. Неравенство равносильно $x^3-1 > 0$, откуда $x^3 > 1$, и $x > 1$.
3. Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{3(x^3-1)}{x} < 0$. Так как $x > 0$, неравенство равносильно $x^3-1 < 0$, откуда $x^3 < 1$, и $x < 1$. С учётом ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < 1$.
Ответ: производная равна нулю при $x=1$; положительна при $x \in (1, +\infty)$; отрицательна при $x \in (0, 1)$.