Номер 862, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 862, страница 256.

Условие.

862 Написать уравнение касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке с абсциссой $x = 0$:

1) $f (x) = x + \frac{1}{x+1}$;

2) $f (x) = \sin 2x - \ln (x + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. В данной задаче $x_0 = 0$, поэтому искомое уравнение имеет вид: $y = f(0) + f'(0) \cdot x$.

1) Для функции $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$:

Находим значение функции в точке $x_0=0$:
$f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.

Находим производную функции:
$f'(x) = \left(x + \frac{1}{x+1}\right)' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$.

Находим значение производной в точке $x_0=0$ (угловой коэффициент касательной):
$f'(0) = 1 - \frac{1}{(0+1)^2} = 1 - 1 = 0$.

Подставляем найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot x$,
$y = 1$.

Ответ: $y=1$.

2) Для функции $f(x) = \sin 2x - \ln(x+1)$:

Находим значение функции в точке $x_0=0$:
$f(0) = \sin(2 \cdot 0) - \ln(0+1) = \sin 0 - \ln 1 = 0$.

Находим производную функции:
$f'(x) = (\sin 2x - \ln(x+1))' = 2\cos(2x) - \frac{1}{x+1}$.

Находим значение производной в точке $x_0=0$:
$f'(0) = 2\cos(2 \cdot 0) - \frac{1}{0+1} = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Подставляем найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot x$,
$y = x$.

Ответ: $y=x$.