Номер 861, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 861, страница 255.

Условие.

861 Функция $y = f (x)$ задана своим графиком (рис. 118, а, б).

Из точек A, B, C, D, E, F, G выбрать те, в которых производная этой функции принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения;

в) значения, равные 0.

Рис. 118

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Геометрический смысл производной функции $y = f(x)$ в некоторой точке заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Иными словами, производная показывает скорость изменения функции.

• Если функция возрастает, ее график идет "вверх" (слева направо), и касательная в этих точках имеет положительный угол наклона. Следовательно, производная положительна ($f'(x) > 0$).
• Если функция убывает, ее график идет "вниз", и касательная имеет отрицательный угол наклона. Следовательно, производная отрицательна ($f'(x) < 0$).
• В точках локальных максимумов и минимумов (точках экстремума) касательная к графику горизонтальна, ее угол наклона равен нулю. Следовательно, производная в этих точках равна нулю ($f'(x) = 0$).

Проанализируем каждый график на основе этих правил.

Для графика на рис. 118, а:

а) положительные значения

Производная положительна в точках, где функция возрастает. На данном графике это участки, на которых находятся точки A, B и E. В этих точках график функции "поднимается" вверх.

Ответ: A, B, E.

б) отрицательные значения

Производная отрицательна в точках, где функция убывает. На графике это участки, на которых находятся точки D и G. В этих точках график "опускается" вниз.

Ответ: D, G.

в) значения, равные 0

Производная равна нулю в точках экстремумов. На графике это точки C и F, которые являются точками локальных максимумов (вершинами "холмов"). В этих точках касательная к графику параллельна оси Ox.

Ответ: C, F.

---

Для графика на рис. 118, б:

а) положительные значения

Производная положительна ($f'(x) > 0$) в точках, где функция возрастает. На данном графике это точки C и G.

Ответ: C, G.

б) отрицательные значения

Производная отрицательна ($f'(x) < 0$) в точках, где функция убывает. На данном графике это точки A и E.

Ответ: A, E.

в) значения, равные 0

Производная равна нулю ($f'(x) = 0$) в точках экстремумов. На графике это точки локальных минимумов B и F (впадины) и точка локального максимума D (вершина).

Ответ: B, D, F.