Номер 867, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 867, страница 256.

Условие.

867 В каких точках касательная к графику функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ образует с осью Ox угол, равный $-\frac{\pi}{4}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$. Таким образом, справедливо равенство: $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной равен $\alpha = -\frac{\pi}{4}$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Теперь необходимо найти точки, в которых производная функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ равна $-1$.

Найдем производную данной функции, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x+2}{x-2}\right)' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2}$

$y' = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$.

Приравняем найденную производную к значению углового коэффициента $k = -1$ и решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания:

$\frac{-4}{(x-2)^2} = -1$.

Умножим обе части уравнения на $-(x-2)^2$, учитывая, что $x \neq 2$ (согласно области определения функции):

$4 = (x-2)^2$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два линейных уравнения:

1) $x - 2 = 2 \implies x_1 = 4$.

2) $x - 2 = -2 \implies x_2 = 0$.

Мы определили абсциссы искомых точек. Для нахождения полных координат этих точек подставим полученные значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{x+2}{x-2}$.

Для $x_1 = 4$:

$y_1 = \frac{4+2}{4-2} = \frac{6}{2} = 3$.

Следовательно, первая точка имеет координаты $(4, 3)$.

Для $x_2 = 0$:

$y_2 = \frac{0+2}{0-2} = \frac{2}{-2} = -1$.

Следовательно, вторая точка имеет координаты $(0, -1)$.

Ответ: $(4, 3)$ и $(0, -1)$.