Номер 874, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 874, страница 257.

Условие.

874 1) $\sin^3 x;$

2) $8^{\cos x};$

3) $\cos^4 x;$

4) $\ln (x^3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \sin^3 x $;

Для нахождения производной функции $ y = \sin^3 x $ мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Представим функцию в виде $ y = (\sin x)^3 $.
Пусть внешняя функция $ f(u) = u^3 $, а внутренняя функция $ u(x) = \sin x $.
Производная сложной функции находится по формуле $ y' = (f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x) $.
Найдем производные внешней и внутренней функций:
$ f'(u) = (u^3)' = 3u^2 $.
$ u'(x) = (\sin x)' = \cos x $.
Теперь подставим $ u = \sin x $ и $ u'(x) = \cos x $ в формулу производной сложной функции:
$ y' = 3(\sin x)^2 \cdot (\sin x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x $.
Ответ: $ 3\sin^2 x \cos x $.

2) $ 8^{\cos x} $;

Для нахождения производной функции $ y = 8^{\cos x} $ мы также используем цепное правило.
Здесь внешняя функция - это показательная функция $ f(u) = 8^u $, а внутренняя - тригонометрическая $ u(x) = \cos x $.
Производная показательной функции $ (a^u)' $ равна $ a^u \ln a \cdot u' $.
Найдем производные:
$ f'(u) = (8^u)' = 8^u \ln 8 $.
$ u'(x) = (\cos x)' = -\sin x $.
Применяем цепное правило:
$ y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = 8^{\cos x} \ln 8 \cdot (-\sin x) $.
Упростим выражение:
$ y' = -8^{\cos x} \sin x \ln 8 $.
Можно также преобразовать $ \ln 8 = \ln(2^3) = 3 \ln 2 $, тогда ответ будет $ -3 \cdot 8^{\cos x} \sin x \ln 2 $. Оба варианта верны.
Ответ: $ -8^{\cos x} \sin x \ln 8 $.

3) $ \cos^4 x $;

Для нахождения производной функции $ y = \cos^4 x $ снова воспользуемся цепным правилом.
Представим функцию как $ y = (\cos x)^4 $.
Внешняя функция $ f(u) = u^4 $, внутренняя функция $ u(x) = \cos x $.
Производная сложной функции $ y' = f'(u) \cdot u'(x) $.
Найдем производные:
$ f'(u) = (u^4)' = 4u^3 $.
$ u'(x) = (\cos x)' = -\sin x $.
Подставляем обратно в формулу:
$ y' = 4(\cos x)^3 \cdot (-\sin x) = -4\cos^3 x \sin x $.
Ответ: $ -4\cos^3 x \sin x $.

4) $ \ln(x^3) $;

Для нахождения производной функции $ y = \ln(x^3) $ можно использовать два способа.
Способ 1: Упрощение выражения перед дифференцированием.
Используя свойство логарифма $ \ln(a^b) = b \ln a $, мы можем переписать функцию как:
$ y = 3 \ln x $.
Это преобразование корректно, так как область определения исходной функции $ x^3 > 0 $, что эквивалентно $ x > 0 $, совпадает с областью определения функции $ y = 3 \ln x $.
Теперь найдем производную:
$ y' = (3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} $.
Способ 2: Использование цепного правила.
Рассмотрим функцию $ y = \ln(x^3) $ как сложную.
Внешняя функция $ f(u) = \ln u $, внутренняя функция $ u(x) = x^3 $.
Производная логарифмической функции $ (\ln u)' $ равна $ \frac{1}{u} \cdot u' $.
Найдем производные:
$ f'(u) = (\ln u)' = \frac{1}{u} $.
$ u'(x) = (x^3)' = 3x^2 $.
Применяем цепное правило:
$ y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 $.
Упростим выражение:
$ y' = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x} $.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $ \frac{3}{x} $.