Номер 872, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 872, страница 257.

Условие.

872 1) $x^2 \cos x$;

2) $x^3 \ln x$;

3) $5xe^x$;

4) $x \sin 2x$;

5) $e^{-x} \sin x$;

6) $e^x \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в нахождении первообразных (неопределенных интегралов) для шести заданных функций. Для решения всех примеров используется метод интегрирования по частям.

1) $x^2 \cos x$

Для нахождения первообразной функции $y = x^2 \cos x$ мы будем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x^2$ и $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = (x^2)' \, dx = 2x \, dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Применяя формулу, получаем:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int \sin x \cdot (2x) \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx$.

Теперь нам нужно найти интеграл $\int x \sin x \, dx$, также используя интегрирование по частям. Пусть $u_1 = x$ и $dv_1 = \sin x \, dx$. Тогда $du_1 = dx$ и $v_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$.

Подставим результат обратно в наше первое выражение и добавим константу интегрирования $C$:

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2)\sin x + 2x \cos x + C$.

Ответ: $(x^2 - 2)\sin x + 2x \cos x + C$.

2) $x^3 \ln x$

Найдем первообразную функции $y = x^3 \ln x$ методом интегрирования по частям. Формула: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Согласно правилу выбора $u$ (логарифмическая функция имеет приоритет перед степенной), выберем $u = \ln x$ и $dv = x^3 \, dx$.

Тогда $du = (\ln x)' \, dx = \frac{1}{x} \, dx$ и $v = \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$.

Применяя формулу:

$\int x^3 \ln x \, dx = (\ln x) \left(\frac{x^4}{4}\right) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx$.

Вычисляем оставшийся интеграл и добавляем константу $C$:

$\frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{1}{4} \left(\frac{x^4}{4}\right) + C = \frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$.

Ответ: $\frac{x^4 \ln x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$.

3) $5xe^x$

Найдем первообразную функции $y = 5xe^x$. Сначала вынесем константу за знак интеграла: $\int 5xe^x \, dx = 5 \int xe^x \, dx$.

Интеграл $\int xe^x \, dx$ найдем по частям. Пусть $u = x$ и $dv = e^x \, dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int e^x \, dx = e^x$.

$\int xe^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x$.

Теперь умножим результат на 5 и добавим константу интегрирования $C$:

$5(xe^x - e^x) + C = 5xe^x - 5e^x + C$.

Ответ: $5xe^x - 5e^x + C$.

4) $x \sin 2x$

Найдем первообразную функции $y = x \sin 2x$ интегрированием по частям. Формула: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x$ и $dv = \sin(2x) \, dx$.

Тогда $du = dx$ и $v = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Применяя формулу:

$\int x \sin(2x) \, dx = x \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \, dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$.

Вычисляем оставшийся интеграл: $\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставляем обратно и добавляем константу $C$:

$-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

5) $e^{-x} \sin x$

Найдем первообразную функции $y = e^{-x} \sin x$. Этот интеграл находится методом двукратного интегрирования по частям.

Обозначим $I = \int e^{-x} \sin x \, dx$.

Первый раз интегрируем по частям. Пусть $u = e^{-x}$ и $dv = \sin x \, dx$.

Тогда $du = -e^{-x} \, dx$ и $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

$I = e^{-x}(-\cos x) - \int (-\cos x)(-e^{-x}) \, dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\cos x \, dx$.

Теперь найдем интеграл $\int e^{-x}\cos x \, dx$ также по частям. Пусть $u_1 = e^{-x}$ и $dv_1 = \cos x \, dx$.

Тогда $du_1 = -e^{-x} \, dx$ и $v_1 = \int \cos x \, dx = \sin x$.

$\int e^{-x}\cos x \, dx = e^{-x}\sin x - \int \sin x (-e^{-x}) \, dx = e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\sin x \, dx = e^{-x}\sin x + I$.

Подставим это выражение в уравнение для $I$:

$I = -e^{-x}\cos x - (e^{-x}\sin x + I)$.

$I = -e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x - I$.

Теперь решим это уравнение относительно $I$:

$2I = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$.

$I = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.

Ответ: $-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.

6) $e^x \cos x$

Найдем первообразную функции $y = e^x \cos x$. Этот случай аналогичен предыдущему и решается двукратным интегрированием по частям.

Обозначим $I = \int e^x \cos x \, dx$.

Интегрируем по частям. Пусть $u = e^x$ и $dv = \cos x \, dx$.

Тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

$I = e^x \sin x - \int \sin x \cdot e^x \, dx$.

Теперь найдем интеграл $\int e^x \sin x \, dx$ по частям. Пусть $u_1 = e^x$ и $dv_1 = \sin x \, dx$.

Тогда $du_1 = e^x \, dx$ и $v_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

$\int e^x \sin x \, dx = e^x(-\cos x) - \int (-\cos x)e^x \, dx = -e^x\cos x + \int e^x \cos x \, dx = -e^x\cos x + I$.

Подставим это выражение в уравнение для $I$:

$I = e^x \sin x - (-e^x\cos x + I)$.

$I = e^x \sin x + e^x\cos x - I$.

Решим уравнение относительно $I$:

$2I = e^x(\sin x + \cos x)$.

$I = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x) + C$.