Номер 873, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 873, страница 257.

Условие.

873 1) $\frac{x^3+1}{x^2+1}$;

2) $\frac{x^2}{x^3+1}$;

3) $\frac{\sin x}{x+1}$;

4) $\frac{\ln x}{1-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения всех задач используется правило дифференцирования частного двух функций: $y = \frac{u(x)}{v(x)} \implies y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

1)

Дана функция $y = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$.

Пусть $u(x) = x^3 + 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}$

В числителе можно вынести $x$ за скобку:

$y' = \frac{x(x^3 + 3x - 2)}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $\frac{x^4 + 3x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}$

2)

Дана функция $y = \frac{x^2}{x^3 + 1}$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^3 + 1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(2x)(x^3 + 1) - (x^2)(3x^2)}{(x^3 + 1)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3 + 1)^2} = \frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$

В числителе можно вынести $x$ за скобку:

$y' = \frac{x(2 - x^3)}{(x^3 + 1)^2}$

Ответ: $\frac{2x - x^4}{(x^3 + 1)^2}$

3)

Дана функция $y = \frac{\sin x}{x + 1}$.

Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x + 1$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (x + 1)' = 1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(\cos x)(x + 1) - (\sin x)(1)}{(x + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$

Ответ: $\frac{(x + 1)\cos x - \sin x}{(x + 1)^2}$

4)

Дана функция $y = \frac{\ln x}{1 - x}$.

Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = 1 - x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (1 - x)' = -1$

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{(\frac{1}{x})(1 - x) - (\ln x)(-1)}{(1 - x)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{\frac{1-x}{x} + \ln x}{(1 - x)^2}$

Чтобы избавиться от дроби в числителе, приведем его к общему знаменателю $x$:

$y' = \frac{\frac{1-x + x\ln x}{x}}{(1 - x)^2}$

Теперь упростим полученную "многоэтажную" дробь:

$y' = \frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$

Ответ: $\frac{1 - x + x\ln x}{x(1 - x)^2}$