Номер 870, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 870, страница 257.

Условие.

870 1) $e^x - \sin x$;

2) $\cos x - \ln x$;

3) $\sin x - \sqrt[3]{x}$;

4) $6x^4 - 9e^x$;

5) $\frac{5}{x} + 4e^x$;

6) $\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)Для того чтобы найти производную функции $y = e^x - \sin x$, мы воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
В нашем случае $u(x) = e^x$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные каждого слагаемого по отдельности, используя таблицу производных:
Производная от экспоненциальной функции: $(e^x)' = e^x$.
Производная от синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Теперь подставляем найденные производные в правило дифференцирования разности:
$y' = (e^x - \sin x)' = (e^x)' - (\sin x)' = e^x - \cos x$.
Ответ: $e^x - \cos x$.

2)Найдем производную функции $y = \cos x - \ln x$. Применяем правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u' - v'$.
Здесь $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \ln x$.
Из таблицы производных мы знаем, что:
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Следовательно, производная исходной функции будет:
$y' = (\cos x - \ln x)' = (\cos x)' - (\ln x)' = -\sin x - \frac{1}{x}$.
Ответ: $-\sin x - \frac{1}{x}$.

3)Для нахождения производной функции $y = \sin x - \sqrt[3]{x}$, сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = \sin x - x^{\frac{1}{3}}$.
Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$.
Здесь $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Производная степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В нашем случае $n = \frac{1}{3}$:$(x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.
Результат можно записать в виде корня: $\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Объединяем результаты:
$y' = (\sin x - x^{\frac{1}{3}})' = (\sin x)' - (x^{\frac{1}{3}})' = \cos x - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \cos x - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $\cos x - \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

4)Найдем производную функции $y = 6x^4 - 9e^x$.
Используем правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.
$y' = (6x^4 - 9e^x)' = (6x^4)' - (9e^x)' = 6(x^4)' - 9(e^x)'$.
Находим производные для каждой функции:
Производная степенной функции: $(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Производная экспоненты: $(e^x)' = e^x$.
Подставляем найденные производные обратно в выражение:
$y' = 6 \cdot (4x^3) - 9 \cdot (e^x) = 24x^3 - 9e^x$.
Ответ: $24x^3 - 9e^x$.

5)Для нахождения производной функции $y = \frac{5}{x} + 4e^x$, представим первое слагаемое в виде степени: $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$.
Функция примет вид: $y = 5x^{-1} + 4e^x$.
Применяем правило дифференцирования суммы и правило вынесения константы:
$y' = (5x^{-1} + 4e^x)' = (5x^{-1})' + (4e^x)' = 5(x^{-1})' + 4(e^x)'$.
Находим производные:
$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
$(e^x)' = e^x$.
Подставляем обратно и получаем:
$y' = 5 \cdot (-\frac{1}{x^2}) + 4 \cdot e^x = -\frac{5}{x^2} + 4e^x$.
Ответ: $-\frac{5}{x^2} + 4e^x$.

6)Найдем производную функции $y = \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{2}\ln x$.
Представим первое слагаемое в виде $ \frac{1}{3}x^{-3} $.
Функция имеет вид: $y = \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x$.
Используем правило дифференцирования суммы и вынесение константы:
$y' = (\frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{2}\ln x)' = (\frac{1}{3}x^{-3})' + (\frac{1}{2}\ln x)' = \frac{1}{3}(x^{-3})' + \frac{1}{2}(\ln x)'$.
Находим производные:
$(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем и упрощаем:
$y' = \frac{1}{3} \cdot (-3x^{-4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = -x^{-4} + \frac{1}{2x} = -\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$.
Ответ: $-\frac{1}{x^4} + \frac{1}{2x}$.