Номер 865, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 865, страница 256.

Условие.

865 Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:

1) $y = x^4$ и $y = x^6 + 2x^2$;

2) $y = x^4$ и $y = x^3 - 3x^2$;

3) $y = (x+2)^2$ и $y = 2 - x^2$;

4) $y = x (2+x)$ и $y = x (2-x).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что графики двух функций имеют одну общую точку и общую касательную в этой точке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти абсциссу общей точки, решив уравнение $f(x) = g(x)$. Убедиться, что решение единственное.
2. Вычислить ординату общей точки, подставив найденное значение абсциссы в любую из функций.
3. Найти производные обеих функций, $f'(x)$ и $g'(x)$.
4. Показать, что значения производных в общей точке равны, то есть $f'(x_0) = g'(x_0)$. Это будет означать, что у них общая касательная в этой точке.
5. Написать уравнение общей касательной по формуле $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

1) Даны функции $y = x^4$ и $y = x^6 + 2x^2$.

Обозначим $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^6 + 2x^2$.
Найдем общие точки, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$x^4 = x^6 + 2x^2$
$x^6 - x^4 + 2x^2 = 0$
$x^2(x^4 - x^2 + 2) = 0$
Отсюда либо $x^2 = 0$, то есть $x = 0$, либо $x^4 - x^2 + 2 = 0$.
Рассмотрим второе уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - t + 2 = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.
Поскольку $D < 0$, уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, единственное решение исходного уравнения — $x_0 = 0$.
Графики функций имеют одну общую точку. Найдем ее ординату:
$y_0 = f(0) = 0^4 = 0$.
Общая точка — $(0, 0)$.
Теперь найдем производные функций:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^6 + 2x^2)' = 6x^5 + 4x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 6 \cdot 0^5 + 4 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательные в точке $(0, 0)$ совпадают. Уравнение общей касательной:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: общая точка $(0, 0)$, уравнение общей касательной $y = 0$.

2) Даны функции $y = x^4$ и $y = x^3 - 3x^2$.

Обозначим $f(x) = x^4$ и $g(x) = x^3 - 3x^2$.
Найдем общие точки: $f(x) = g(x)$
$x^4 = x^3 - 3x^2$
$x^4 - x^3 + 3x^2 = 0$
$x^2(x^2 - x + 3) = 0$
Отсюда либо $x = 0$, либо $x^2 - x + 3 = 0$.
Дискриминант квадратного уравнения $x^2 - x + 3 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет. Единственное решение — $x_0 = 0$.
Найдем ординату общей точки: $y_0 = f(0) = 0^4 = 0$.
Общая точка — $(0, 0)$.
Найдем производные:
$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$
$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4 \cdot 0^3 = 0$
$g'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательные в точке $(0, 0)$ совпадают.
Уравнение общей касательной:
$y - 0 = 0(x - 0)$
$y = 0$

Ответ: общая точка $(0, 0)$, уравнение общей касательной $y = 0$.

3) Даны функции $y = (x+2)^2$ и $y = 2 - x^2$.

Обозначим $f(x) = (x+2)^2$ и $g(x) = 2 - x^2$.
Найдем общие точки: $f(x) = g(x)$
$(x+2)^2 = 2 - x^2$
$x^2 + 4x + 4 = 2 - x^2$
$2x^2 + 4x + 2 = 0$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x+1)^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = -1$.
Найдем ординату общей точки: $y_0 = f(-1) = (-1+2)^2 = 1^2 = 1$.
Общая точка — $(-1, 1)$.
Найдем производные:
$f'(x) = ((x+2)^2)' = 2(x+2) = 2x + 4$
$g'(x) = (2 - x^2)' = -2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2(-1) + 4 = 2$
$g'(-1) = -2(-1) = 2$
Так как $f'(-1) = g'(-1)$, касательные в точке $(-1, 1)$ совпадают. Уравнение общей касательной:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
$y - 1 = 2(x - (-1))$
$y - 1 = 2(x+1)$
$y - 1 = 2x + 2$
$y = 2x + 3$

Ответ: общая точка $(-1, 1)$, уравнение общей касательной $y = 2x + 3$.

4) Даны функции $y = x(2+x)$ и $y = x(2-x)$.

Обозначим $f(x) = x(2+x) = 2x + x^2$ и $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$.
Найдем общие точки: $f(x) = g(x)$
$2x + x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 = 0$
$x^2 = 0$
Единственное решение — $x_0 = 0$.
Найдем ординату общей точки: $y_0 = f(0) = 2(0) + 0^2 = 0$.
Общая точка — $(0, 0)$.
Найдем производные:
$f'(x) = (2x + x^2)' = 2 + 2x$
$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$
Вычислим значения производных в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2 + 2(0) = 2$
$g'(0) = 2 - 2(0) = 2$
Так как $f'(0) = g'(0)$, касательные в точке $(0, 0)$ совпадают.
Уравнение общей касательной:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
$y - 0 = 2(x - 0)$
$y = 2x$

Ответ: общая точка $(0, 0)$, уравнение общей касательной $y = 2x$.