Номер 868, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 868, страница 256.

Условие.

868 Найти точки, в которых касательные к кривым $f(x) = x^3 - x - 1$ и $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ параллельны. Написать уравнения этих касательных.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Касательные к кривым параллельны в тех точках, где их угловые коэффициенты (наклоны) равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$. Таким образом, чтобы найти искомые точки, необходимо решить уравнение $f'(x) = g'(x)$.

1. Найдем производные данных функций:
Для функции $f(x) = x^3 - x - 1$ производная равна:
$f'(x) = (x^3 - x - 1)' = 3x^2 - 1$
Для функции $g(x) = 3x^2 - 4x + 1$ производная равна:
$g'(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

2. Приравняем производные и найдем абсциссы точек касания:
$f'(x) = g'(x)$
$3x^2 - 1 = 6x - 4$
$3x^2 - 6x + 3 = 0$
Разделив обе части уравнения на 3, получим:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 1)^2 = 0$
Следовательно, существует только одна абсцисса $x = 1$, в которой касательные к графикам параллельны.

3. Найдем координаты точек касания:
Для этого подставим значение $x=1$ в уравнения исходных функций.
Для кривой $f(x)$: $y_1 = f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1$. Точка касания на первой кривой: $(1, -1)$.
Для кривой $g(x)$: $y_2 = g(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$. Точка касания на второй кривой: $(1, 0)$.

4. Напишем уравнения касательных:
Угловой коэффициент $k$ для обеих касательных в точке с абсциссой $x=1$ одинаков:
$k = f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2$ (или $k = g'(1) = 6(1) - 4 = 2$).
Уравнение касательной в общем виде: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Уравнение касательной к кривой $f(x)$ в точке $(1, -1)$:
$y - (-1) = 2(x - 1)$
$y + 1 = 2x - 2$
$y = 2x - 3$
Уравнение касательной к кривой $g(x)$ в точке $(1, 0)$:
$y - 0 = 2(x - 1)$
$y = 2x - 2$

Ответ: Точки, в которых касательные к кривым параллельны: $(1, -1)$ на кривой $f(x)$ и $(1, 0)$ на кривой $g(x)$. Уравнения этих касательных: $y = 2x - 3$ и $y = 2x - 2$ соответственно.