Номер 875, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 875, страница 257.

Условие.

875 Найти значения x, при которых значение производной функции $f(x)$ равно нулю; положительно; отрицательно:

1) $f(x) = 2x^3 - x^2$;

2) $f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4$;

3) $f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x$;

4) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 4)^2$;

5) $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$;

6) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) f(x) = 2x³ - x²

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (2x^3 - x^2)' = 2 \cdot 3x^{2} - 2x = 6x^2 - 2x$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$6x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(3x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = 0$ и $x = \frac{1}{3}$.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$6x^2 - 2x > 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Корни $x=0$ и $x=\frac{1}{3}$ разбивают числовую прямую на три интервала. Функция $y = 6x^2 - 2x$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Ответ: $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$6x^2 - 2x < 0$.
Парабола $y = 6x^2 - 2x$ отрицательна на интервале между корнями.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (0, \frac{1}{3})$.

2) f(x) = -3x³ + 2x² + 4

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-3x^3 + 2x^2 + 4)' = -3 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x + 0 = -9x^2 + 4x$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$-9x^2 + 4x = 0$
$x(-9x + 4) = 0$
$x = 0$ или $-9x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{9}$.
Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = 0$ и $x = \frac{4}{9}$.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$-9x^2 + 4x > 0$.
Функция $y = -9x^2 + 4x$ — парабола с ветвями вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому она положительна на интервале между корнями.
Ответ: $f'(x) > 0$ при $x \in (0, \frac{4}{9})$.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$-9x^2 + 4x < 0$.
Парабола отрицательна вне интервала между корнями.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{9}, +\infty)$.

3) f(x) = x⁵ - 5x³ - 20x

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^5 - 5x^3 - 20x)' = 5x^4 - 15x^2 - 20$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$5x^4 - 15x^2 - 20 = 0$.
Разделим уравнение на 5: $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ (где $y \ge 0$):
$y^2 - 3y - 4 = 0$.
По теореме Виета корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$. Корень $y_2 = -1$ не подходит, так как $x^2$ не может быть отрицательным.
Возвращаемся к замене: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = -2$ и $x = 2$.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$5x^4 - 15x^2 - 20 > 0 \Rightarrow 5(x^2 - 4)(x^2 + 1) > 0$.
Так как $x^2+1$ всегда больше нуля, знак неравенства зависит от знака выражения $x^2-4$.
$x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x^2 > 4$.
Ответ: $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$5(x^2 - 4)(x^2 + 1) < 0 \Rightarrow x^2 - 4 < 0 \Rightarrow x^2 < 4$.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (-2, 2)$.

4) f(x) = (x + 3)³(x - 4)²

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x+3)^3)'(x-4)^2 + (x+3)^3((x-4)^2)'$
$f'(x) = 3(x+3)^2(x-4)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-4)$
Вынесем общий множитель $(x+3)^2(x-4)$:
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3(x-4) + 2(x+3)]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4) [3x - 12 + 2x + 6]$
$f'(x) = (x+3)^2(x-4)(5x - 6)$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$(x+3)^2(x-4)(5x - 6) = 0$.
Корни: $x = -3$, $x = 4$, $x = \frac{6}{5}$.
Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = -3$, $x = 1.2$ и $x = 4$.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$(x+3)^2(x-4)(5x - 6) > 0$.
Множитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак неравенства (кроме точки $x=-3$, где он равен нулю). Знак определяется произведением $(x-4)(5x - 6)$, которое представляет собой параболу с ветвями вверх и корнями $x=1.2$ и $x=4$. Выражение положительно вне интервала между корнями.
Ответ: $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1.2) \cup (4, +\infty)$.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$(x+3)^2(x-4)(5x - 6) < 0$.
Выражение отрицательно на интервале между корнями $x=1.2$ и $x=4$.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (1.2, 4)$.

5) f(x) = (3x + 1) / (x - 2)

Область определения функции: $x \neq 2$.
Найдем производную по правилу производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x+1)'(x-2) - (3x+1)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{3(x-2) - (3x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}$
$f'(x) = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2}$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{-7}{(x-2)^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби -7 никогда не равен нулю.
Ответ: таких значений $x$ не существует.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{-7}{(x-2)^2} > 0$.
Числитель дроби отрицателен (-7), а знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$. Частное отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.
Ответ: таких значений $x$ не существует.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{-7}{(x-2)^2} < 0$.
Это неравенство выполняется для всех $x$ из области определения функции.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

6) f(x) = x² + 2/x

Область определения функции: $x \neq 0$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + 2x^{-1}$ и найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x + 2(-1)x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$.
Приведем к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{2x \cdot x^2 - 2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2}$.

Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
$2(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.
При $x=1$ знаменатель $x^2 = 1 \neq 0$.
Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = 1$.

Производная положительна: $f'(x) > 0$.
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} > 0$.
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Знак дроби зависит от знака числителя.
$x^3 - 1 > 0 \Rightarrow x^3 > 1 \Rightarrow x > 1$.
Ответ: $f'(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$.

Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
$\frac{2(x^3 - 1)}{x^2} < 0$.
Знак дроби зависит от знака числителя.
$x^3 - 1 < 0 \Rightarrow x^3 < 1 \Rightarrow x < 1$.
С учетом области определения ($x \neq 0$), получаем два интервала.
Ответ: $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.