Номер 877, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 877, страница 257.

Условие.

877 Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = x^2 - 2x, x_0 = 3;$

2) $y = x^3 + 3x, x_0 = 3;$

3) $y = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6};$

4) $y = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

1) Дана функция $y = x^2 - 2x$ и точка $x_0 = 3$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$.

4. Подставим найденные значения $f(3) = 3$ и $f'(3) = 4$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 4(x - 3)$

$y = 3 + 4x - 12$

$y = 4x - 9$.

Ответ: $y = 4x - 9$.

2) Дана функция $y = x^3 + 3x$ и точка $x_0 = 3$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30$.

4. Подставим найденные значения $f(3) = 36$ и $f'(3) = 30$ в уравнение касательной:

$y = 36 + 30(x - 3)$

$y = 36 + 30x - 90$

$y = 30x - 54$.

Ответ: $y = 30x - 54$.

3) Дана функция $y = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $f'(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{6})$

$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

4) Дана функция $y = \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1. Найдём значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдём значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{3})$

$y = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.