Номер 3, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя к главе 8 - номер 3, страница 258.

Условие.

3 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = \cos 3x$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = \cos(3x)$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{6}$, необходимо найти значение производной этой функции в данной точке.

1. Находим производную функции.
Функция $y = \cos(3x)$ является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, ее производная $f'(u) = -\sin(u)$.
Внутренняя функция $g(x) = 3x$, ее производная $g'(x) = 3$.
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$.
Угловой коэффициент $k$ равен значению производной $y'$ в точке $x_0$:
$k = y'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -3\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right)$.

Выполним вычисления:
$k = -3\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
$k = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3