Номер 881, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 881, страница 258.

Условие.

881 1) $\log_2 (x^3 - x^2 + 1)$;

2) $(\log_2 x)^3$;

3) $\sin (\log_3 x)$;

4) $\cos 3^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_2 (x^3 - x^2 + 1)$

Для нахождения производной этой функции, которую обозначим как $y = \log_2 (x^3 - x^2 + 1)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это логарифм по основанию 2, $f(u) = \log_2 u$, а внутренняя функция — это многочлен под знаком логарифма, $g(x) = x^3 - x^2 + 1$.

Шаг 1: Находим производную внешней функции. Производная логарифмической функции $(\log_a u)'$ равна $\frac{1}{u \ln a}$. Следовательно, производная нашей внешней функции: $f'(u) = (\log_2 u)' = \frac{1}{u \ln 2}$.

Шаг 2: Находим производную внутренней функции. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$, получаем: $g'(x) = (x^3 - x^2 + 1)' = (x^3)' - (x^2)' + (1)' = 3x^2 - 2x + 0 = 3x^2 - 2x$.

Шаг 3: Собираем все вместе по цепному правилу. Подставляем $g(x)$ вместо $u$ в $f'(u)$ и умножаем на $g'(x)$: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{(x^3 - x^2 + 1) \ln 2} \cdot (3x^2 - 2x)$.

Записываем конечный результат в виде дроби: $y' = \frac{3x^2 - 2x}{(x^3 - x^2 + 1) \ln 2}$.

Ответ: $\frac{3x^2 - 2x}{(x^3 - x^2 + 1) \ln 2}$

2) $(\log_2 x)^3$

Данная функция $y = (\log_2 x)^3$ также является сложной. Применим цепное правило $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция — это степенная функция, $f(u) = u^3$, а внутренняя функция — логарифмическая, $g(x) = \log_2 x$.

Шаг 1: Находим производную внешней функции по правилу дифференцирования степенной функции: $f'(u) = (u^3)' = 3u^2$.

Шаг 2: Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Шаг 3: Применяем цепное правило: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(\log_2 x)^2 \cdot \frac{1}{x \ln 2}$.

Записываем результат в более удобном виде: $y' = \frac{3(\log_2 x)^2}{x \ln 2}$.

Ответ: $\frac{3(\log_2 x)^2}{x \ln 2}$

3) $\sin(\log_3 x)$

Для нахождения производной функции $y = \sin(\log_3 x)$ воспользуемся цепным правилом $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция — тригонометрическая, $f(u) = \sin u$, а внутренняя — логарифмическая, $g(x) = \log_3 x$.

Шаг 1: Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin u)' = \cos u$.

Шаг 2: Производная внутренней функции: $g'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Шаг 3: Соединяем результаты по цепному правилу: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(\log_3 x) \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.

Окончательный вид производной: $y' = \frac{\cos(\log_3 x)}{x \ln 3}$.

Ответ: $\frac{\cos(\log_3 x)}{x \ln 3}$

4) $\cos(3^x)$

Функция $y = \cos(3^x)$ является сложной. Для ее дифференцирования применим цепное правило $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция — тригонометрическая, $f(u) = \cos u$, а внутренняя — показательная, $g(x) = 3^x$.

Шаг 1: Находим производную внешней функции: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.

Шаг 2: Находим производную внутренней функции. Производная показательной функции $(a^x)'$ равна $a^x \ln a$. $g'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.

Шаг 3: Применяем цепное правило: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3^x) \cdot (3^x \ln 3)$.

Переставляя множители для удобства, получаем: $y' = -3^x \ln 3 \cdot \sin(3^x)$.

Ответ: $-3^x \ln 3 \sin(3^x)$