Номер 885, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 885, страница 258.

Условие.

885 Найти все значения $a$, при которых $f'(x) \leq 0$ для всех действительных значений $x$, если $f(x) = ax^3 - 6x^2 - x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти все значения $a$, при которых $f'(x) \le 0$ для всех действительных значений $x$, сначала найдем производную функции $f(x) = ax^3 - 6x^2 - x$.

Производная функции:
$f'(x) = (ax^3)' - (6x^2)' - (x)' = 3ax^2 - 12x - 1$.

Теперь нам необходимо решить неравенство $f'(x) \le 0$, то есть:
$3ax^2 - 12x - 1 \le 0$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$. Рассмотрим левую часть неравенства как квадратичную функцию $g(x) = 3ax^2 - 12x - 1$.

Случай 1: $a = 0$.
Если $a = 0$, то коэффициент при $x^2$ равен нулю, и функция $g(x)$ становится линейной:
$g(x) = -12x - 1$.
Неравенство $-12x - 1 \le 0$ эквивалентно $x \ge -1/12$. Так как это условие выполняется не для всех действительных $x$, значение $a=0$ не является решением.

Случай 2: $a \ne 0$.
В этом случае $g(x) = 3ax^2 - 12x - 1$ является квадратичной функцией, а ее график — парабола. Чтобы парабола целиком лежала не выше оси абсцисс ($g(x) \le 0$ для всех $x$), необходимо выполнение двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным:
$3a < 0 \implies a < 0$.
2. Парабола должна иметь не более одной общей точки с осью абсцисс. Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть неположительным:
$D \le 0$.

Вычислим дискриминант для трехчлена $3ax^2 - 12x - 1$:
$D = (-12)^2 - 4(3a)(-1) = 144 + 12a$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:
$144 + 12a \le 0$
$12a \le -144$
$a \le -12$.

Мы получили систему из двух условий для параметра $a$:
$\begin{cases} a < 0 \\ a \le -12 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $a \le -12$.

Это и есть искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; -12]$.