Номер 890, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 890, страница 260.

Условие.

890 Найти уравнения касательных к графику функции $y = \frac{1}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2$, параллельных прямой $y = 6x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти уравнения касательных к графику функции $y = f(x)$, параллельных данной прямой, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент $k$ данной прямой. Касательные будут иметь тот же угловой коэффициент, так как они параллельны этой прямой.Прямая задана уравнением $y = 6x$. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 6$.

2. Найти производную данной функции $y(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2$. Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке, то есть $y'(x_0) = k$.$y'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - \frac{5}{2} \cdot 2x^{2-1} = x^2 - 5x$.

3. Приравнять производную к найденному угловому коэффициенту $k=6$ и решить полученное уравнение, чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$.$x_0^2 - 5x_0 = 6$$x_0^2 - 5x_0 - 6 = 0$Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение корней равно -6. Корни: $x_{0_1} = 6$ и $x_{0_2} = -1$.Следовательно, существует две точки на графике функции, в которых касательные параллельны прямой $y=6x$.

4. Найти ординаты точек касания $y_0$, подставив найденные значения $x_0$ в исходное уравнение функции.

Для $x_{0_1} = 6$:$y_{0_1} = \frac{1}{3}(6)^3 - \frac{5}{2}(6)^2 = \frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{5}{2} \cdot 36 = 72 - 5 \cdot 18 = 72 - 90 = -18$.Первая точка касания: $(6, -18)$.

Для $x_{0_2} = -1$:$y_{0_2} = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 = \frac{1}{3}(-1) - \frac{5}{2}(1) = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{17}{6}$.Вторая точка касания: $(-1, -\frac{17}{6})$.

5. Записать уравнения касательных, используя общую формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$.

Для первой точки $(6, -18)$ и $k=6$:$y = -18 + 6(x - 6)$$y = -18 + 6x - 36$$y = 6x - 54$.

Для второй точки $(-1, -\frac{17}{6})$ и $k=6$:$y = -\frac{17}{6} + 6(x - (-1))$$y = -\frac{17}{6} + 6(x + 1)$$y = -\frac{17}{6} + 6x + 6$$y = 6x + \frac{36}{6} - \frac{17}{6}$$y = 6x + \frac{19}{6}$.

Ответ: $y = 6x - 54$ и $y = 6x + \frac{19}{6}$.