Номер 896, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 896, страница 260.

Условие.

896 Выяснить, при каких значениях параметра $a$ прямая $y = ax - 2$ касается графика функции $y = 1 + \ln x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы прямая $y = ax - 2$ касалась графика функции $f(x) = 1 + \ln x$, необходимо и достаточно, чтобы в точке касания с абсциссой $x_0$ одновременно выполнялись два условия: равенство значений функций и равенство их производных.

Первое условие — равенство значений функций в точке $x_0$:
$ax_0 - 2 = 1 + \ln x_0$.

Второе условие — равенство производных. Производная прямой $y = ax - 2$ равна ее угловому коэффициенту $a$. Производная функции $f(x) = 1 + \ln x$ находится следующим образом: $f'(x) = (1 + \ln x)' = \frac{1}{x}$. Следовательно, в точке $x_0$ должно выполняться равенство:
$a = f'(x_0) = \frac{1}{x_0}$.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $x_0$:
$ \begin{cases} ax_0 - 2 = 1 + \ln x_0 \\ a = \frac{1}{x_0} \end{cases} $

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое, чтобы найти $x_0$:
$ \left(\frac{1}{x_0}\right) \cdot x_0 - 2 = 1 + \ln x_0 $
$ 1 - 2 = 1 + \ln x_0 $
$ -1 = 1 + \ln x_0 $
$ \ln x_0 = -2 $.

Из последнего уравнения находим абсциссу точки касания:
$ x_0 = e^{-2} = \frac{1}{e^2} $.

Теперь, зная $x_0$, найдем значение параметра $a$, подставив найденное значение во второе уравнение системы:
$ a = \frac{1}{x_0} = \frac{1}{e^{-2}} = e^2 $.

Ответ: $a = e^2$.