Номер 894, страница 260 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 894, страница 260.

Условие.

894 Найти все такие точки графика функции $y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 4}$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $y = 2x + 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Условие того, что касательная к графику функции $y=f(x)$ в некоторой точке $(x_0, y_0)$ параллельна прямой $y=kx+b$, состоит в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y=2x+5$ равен $k=2$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x_0)$.

Следовательно, нам необходимо найти абсциссы $x_0$ всех точек, в которых выполняется равенство $f'(x_0) = 2$.

Заданная функция: $y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 4}$.

Найдем ее производную $y'$. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней и логарифмов: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$.

$y = \frac{2^{2x} - 2 \cdot 2^x}{2 \ln 2}$

Теперь дифференцируем функцию по $x$. Используем правило нахождения производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$.

$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{2 \ln 2} \right) = \frac{1}{2 \ln 2} \cdot \left( (4^x)' - (2^{x+1})' \right)$

$(4^x)' = 4^x \ln 4 = 4^x \cdot 2 \ln 2$

$(2^{x+1})' = (2 \cdot 2^x)' = 2 \cdot (2^x)' = 2 \cdot 2^x \ln 2$

Подставляем найденные производные в общее выражение:

$y' = \frac{1}{2 \ln 2} \left( 4^x \cdot 2 \ln 2 - 2 \cdot 2^x \ln 2 \right)$

Выносим общий множитель $2 \ln 2$ за скобки и сокращаем:

$y' = \frac{2 \ln 2 \cdot (4^x - 2^x)}{2 \ln 2} = 4^x - 2^x$

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту заданной прямой, то есть к 2:

$4^x - 2^x = 2$

Перепишем уравнение, представив $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2^x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то и $t > 0$.

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$, $t_1 \cdot t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

1) $2^x = 2$. Это равенство выполняется при $x=1$.

2) $2^x = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения.

Таким образом, существует единственная абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату этой точки, подставив значение $x=1$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 4} = \frac{4 - 2^2}{\ln 4} = \frac{4-4}{\ln 4} = \frac{0}{\ln 4} = 0$

Искомая точка на графике функции имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$.