Номер 888, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 888, страница 259.

Условие.

888 Под каким углом пересекаются графики функций:

1) $y=2\sqrt{x}$ и $y=2\sqrt{6-x}$;

2) $y=\sqrt{2x+1}$ и $y=1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Угол между графиками функций в точке их пересечения равен углу между касательными к графикам в этой точке. Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле: $\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

Сначала найдем точку пересечения графиков функций $y=2\sqrt{x}$ и $y=2\sqrt{6-x}$. Для этого приравняем правые части уравнений:

$2\sqrt{x} = 2\sqrt{6-x}$

$\sqrt{x} = \sqrt{6-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 6-x$

$2x = 6$

$x_0 = 3$

Найдем соответствующую ординату точки пересечения, подставив $x_0 = 3$ в любое из уравнений:

$y_0 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, точка пересечения графиков — $(3, 2\sqrt{3})$.

Теперь найдем угловые коэффициенты касательных к графикам в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Для первой функции $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ найдем производную:

$f'(x) = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Угловой коэффициент первой касательной $k_1$ в точке $x_0 = 3$:

$k_1 = f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для второй функции $g(x) = 2\sqrt{6-x} = 2(6-x)^{1/2}$ найдем производную (используя правило дифференцирования сложной функции):

$g'(x) = (2(6-x)^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6-x)^{-1/2} \cdot (6-x)' = \frac{1}{\sqrt{6-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt{6-x}}$

Угловой коэффициент второй касательной $k_2$ в точке $x_0 = 3$:

$k_2 = g'(3) = -\frac{1}{\sqrt{6-3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Подставим наши значения $k_1$ и $k_2$ в формулу для тангенса угла между прямыми:

$\tan \alpha = \left| \frac{-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} \right| = \left| -\frac{3}{\sqrt{3}} \right| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

2)

Найдем угол пересечения графиков функций $y=\sqrt{2x+1}$ и $y=1$.

Сначала определим точку пересечения, приравняв функции:

$\sqrt{2x+1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2x+1 = 1^2$

$2x = 0$

$x_0 = 0$

Ордината точки пересечения $y_0 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.

Теперь найдем угловые коэффициенты касательных в этой точке.

Для первой функции $f(x) = \sqrt{2x+1} = (2x+1)^{1/2}$ найдем производную:

$f'(x) = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

Угловой коэффициент первой касательной $k_1$ в точке $x_0 = 0$:

$k_1 = f'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

Вторая функция $g(x) = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс. Ее производная равна нулю в любой точке, поэтому угловой коэффициент второй касательной $k_2 = 0$.

Найдем угол $\alpha$ между касательными по формуле:

$\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Подставим значения $k_1=1$ и $k_2=0$:

$\tan \alpha = \left| \frac{0 - 1}{1 + 1 \cdot 0} \right| = \left| \frac{-1}{1} \right| = 1$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.