Номер 887, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 887, страница 259.

Условие.

887 Найти все значения a, при которых неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений, если:

1) $f(x) = ax^7 + x^3 - 1$;

2) $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$;

3) $f(x) = (x + a)\sqrt{x}$;

4) $f(x) = x + \frac{a}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = ax^7 + x^3 - 1$. Найдем ее производную: $f'(x) = (ax^7 + x^3 - 1)' = 7ax^6 + 3x^2$. Область определения функции и ее производной — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет действительных решений тогда и только тогда, когда неравенство $f'(x) \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$. Запишем это условие: $7ax^6 + 3x^2 \ge 0$

Вынесем $x^2$ за скобки: $x^2(7ax^4 + 3) \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, это неравенство равносильно следующему (при $x \neq 0$): $7ax^4 + 3 \ge 0$. При $x=0$ исходное неравенство $0 \ge 0$ верно. Рассмотрим неравенство $7ax^4 + 3 \ge 0$.

Если $a \ge 0$, то $7a \ge 0$. Так как $x^4 \ge 0$, то $7ax^4 \ge 0$. Следовательно, $7ax^4 + 3 \ge 3 > 0$. Неравенство выполняется для любого $x$.

Если $a < 0$, то $7a < 0$. Неравенство $7ax^4 \ge -3$ можно переписать как $x^4 \le \frac{-3}{7a}$. Так как $a < 0$, то $\frac{-3}{7a} > 0$. Это неравенство не выполняется для достаточно больших значений $x$. Например, если $x > \sqrt[4]{\frac{-3}{7a}}$, то $f'(x)$ будет отрицательным.

Таким образом, неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений только при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

2) Дана функция $f(x) = x^5 + ax^3 + 3$. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^5 + ax^3 + 3)' = 5x^4 + 3ax^2$. Область определения функции и ее производной — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений, если $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $5x^4 + 3ax^2 \ge 0$

Вынесем $x^2$ за скобки: $x^2(5x^2 + 3a) \ge 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$, это неравенство эквивалентно тому, что $5x^2 + 3a \ge 0$ для всех $x$. Рассмотрим выражение $g(x) = 5x^2 + 3a$. Это парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине при $x=0$ и равно $g(0) = 5(0)^2 + 3a = 3a$.

Чтобы неравенство $5x^2 + 3a \ge 0$ выполнялось для всех $x$, его наименьшее значение должно быть неотрицательным: $3a \ge 0$, что означает $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

3) Дана функция $f(x) = (x+a)\sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$. Перепишем функцию как $f(x) = x^{3/2} + ax^{1/2}$. Найдем ее производную для $x > 0$: $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{a}{2}x^{-1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{a}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+a}{2\sqrt{x}}$.

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений, если $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения производной, то есть для всех $x > 0$. $\frac{3x+a}{2\sqrt{x}} \ge 0$

Поскольку $2\sqrt{x} > 0$ для всех $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $2\sqrt{x}$, не меняя знака: $3x + a \ge 0$ для всех $x > 0$.

Пусть $g(x) = 3x + a$. Это линейная возрастающая функция. Чтобы она была неотрицательной для всех $x > 0$, ее значение должно быть неотрицательным при $x$, стремящемся к нулю справа. $\lim_{x\to 0^+} (3x+a) = a$. Значит, нам необходимо, чтобы $a \ge 0$. Если $a \ge 0$, то для любого $x > 0$ имеем $3x > 0$, и $3x+a \ge a \ge 0$. Если $a < 0$, то для $x \in (0, -a/3)$ будет $3x+a < 0$, и $f'(x) < 0$.

Следовательно, условие выполняется при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

4) Дана функция $f(x) = x + \frac{a}{x}$. Область определения функции: $x \ne 0$. Найдем ее производную: $f'(x) = (x + ax^{-1})' = 1 - ax^{-2} = 1 - \frac{a}{x^2}$.

Неравенство $f'(x) < 0$ не имеет решений, если $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то есть для $x \ne 0$. $1 - \frac{a}{x^2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2 - a}{x^2} \ge 0$

Так как $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, это неравенство равносильно следующему: $x^2 - a \ge 0$, или $x^2 \ge a$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \ne 0$. Множество значений $x^2$ для $x \ne 0$ есть интервал $(0, +\infty)$. Чтобы $x^2$ было всегда больше или равно $a$, число $a$ должно быть меньше или равно любого значения из этого интервала. Наибольшее значение, которому $a$ может быть равно, это нижняя граница интервала, то есть 0. Следовательно, $a \le 0$.

Проверим: если $a \le 0$, то $x^2 \ge 0 \ge a$ верно для любого $x$. Если $a > 0$, то для $x$ таких, что $0 < x^2 < a$ (например, $x=\sqrt{a}/2$), неравенство $x^2 \ge a$ не выполняется, и $f'(x)$ будет отрицательным.

Таким образом, условие выполняется при $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.