Номер 884, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 884, страница 258.

Условие.

884 Найти все значения $a$, при которых $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$, если $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых производная функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$ является неотрицательной для всех действительных значений $x$. Это эквивалентно выполнению неравенства $f'(x) \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Первым шагом найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 + ax)' = 3x^2 + 6x + a$.

Теперь задача сводится к нахождению таких значений $a$, при которых квадратный трехчлен $3x^2 + 6x + a$ всегда будет больше или равен нулю.
Выражение $y(x) = 3x^2 + 6x + a$ является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3, что является положительным числом, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями, направленными вверх, будет неотрицательна на всей числовой оси ($y(x) \ge 0$ для всех $x$) тогда и только тогда, когда она имеет не более одной точки пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она либо касается оси $x$ в одной точке (один корень), либо полностью находится над ней (нет действительных корней). Данное условие выполняется, если дискриминант ($D$) соответствующего квадратного уравнения меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант для квадратного трехчлена $3x^2 + 6x + a$, где коэффициенты $A=3$, $B=6$, $C=a$:
$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:
$36 - 12a \le 0$
Перенесем $12a$ в правую часть:
$36 \le 12a$
Разделим обе части неравенства на 12:
$3 \le a$.

Таким образом, условие $f'(x) \ge 0$ выполняется для всех действительных значений $x$ при $a \ge 3$.

Ответ: $a \ge 3$.