Номер 886, страница 259 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 8. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 886, страница 259.

886 Найти все значения $a$, при которых уравнение $f'(x) = 0$ не имеет действительных корней, если:

1) $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = ax + \frac{1}{x}$;

3) $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$;

4) $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax.$

1) Для функции $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2}$ ее производная равна $f'(x) = (ax^2 - x^{-2})' = 2ax - (-2)x^{-3} = 2ax + \frac{2}{x^3}$. Уравнение $f'(x)=0$ принимает вид $2ax + \frac{2}{x^3} = 0$. Учитывая область определения $x \neq 0$, умножим уравнение на $\frac{x^3}{2}$ и получим равносильное уравнение $ax^4 + 1 = 0$, или $ax^4 = -1$. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = -1$, что неверно, следовательно, корней нет. Если $a \neq 0$, то $x^4 = -\frac{1}{a}$. Поскольку $x^4 > 0$ для любого действительного $x \neq 0$, уравнение не будет иметь действительных корней, если его правая часть отрицательна: $-\frac{1}{a} < 0$, что равносильно $a > 0$. Объединяя случаи $a=0$ и $a>0$, получаем искомое множество значений.
Ответ: $a \in [0, \infty)$.

2) Для функции $f(x) = ax + \frac{1}{x}$ ее производная равна $f'(x) = (ax + x^{-1})' = a - x^{-2} = a - \frac{1}{x^2}$. Уравнение $f'(x)=0$ принимает вид $a - \frac{1}{x^2} = 0$, или $a = \frac{1}{x^2}$. Учитывая область определения $x \neq 0$, выражение в правой части $\frac{1}{x^2}$ всегда строго положительно. Следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней, если параметр $a$ будет принимать неположительные значения, то есть $a \le 0$. При $a > 0$ уравнение имеет два корня $x = \pm \frac{1}{\sqrt{a}}$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

3) Для функции $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$ ее производная равна $f'(x) = 3ax^2 + 6x + 6$. Уравнение $f'(x)=0$ принимает вид $3ax^2 + 6x + 6 = 0$, или, после деления на 3, $ax^2 + 2x + 2 = 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 2 = 0$, и имеет один корень $x=-1$. Этот случай нам не подходит. Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. $D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 4 - 8a$. Решаем неравенство $D < 0$: $4 - 8a < 0$, откуда $4 < 8a$, и $a > \frac{1}{2}$.
Ответ: $a \in (\frac{1}{2}, \infty)$.

4) Для функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$ ее производная равна $f'(x) = 3x^2 + 12x + a$. Уравнение $f'(x)=0$ принимает вид $3x^2 + 12x + a = 0$. Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 3 и не равен нулю. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен. $D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$. Решаем неравенство $D < 0$: $144 - 12a < 0$, откуда $144 < 12a$, и $a > \frac{144}{12}$, то есть $a > 12$.
Ответ: $a \in (12, \infty)$.