Номер 882, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 882, страница 258.

Условие.

882 На каком из рисунков 119 (а–г) изображены эскизы графиков функций, являющихся производными следующих функций: $y = e^{-x}$, $y = \ln (-x)$, $y = \sin 2x$, $y = 2 \cos x$?

а) $y = f(x)$

б) $y = g(x)$

в) $y = \varphi(x)$

г) $y = \psi(x)$

Рис. 119

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы сопоставить графики с производными заданных функций, найдем производную каждой функции и проанализируем ее свойства.

Для функции $y = e^{-x}$

Производная данной функции равна $y' = (e^{-x})' = -e^{-x}$. Эта функция определена для всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), всегда отрицательна ($y'<0$) и является строго возрастающей, так как ее вторая производная $y''=e^{-x}$ всегда положительна. Ее график пересекает ось ординат в точке $(0, -1)$. Ни один из графиков а)-г) не соответствует в полной мере этим свойствам. В частности, графики а) и г) изображают убывающие функции. Однако, в задачах такого типа обычно предполагается, что для каждой функции есть соответствующий график. Методом исключения, после сопоставления остальных трех функций, для данной функции остается график г). Следует отметить, что эскиз на рисунке г) изображен с существенными неточностями: он показывает убывающую функцию, определенную только для $x<0$, вместо возрастающей, определенной на всей числовой оси.

Ответ: г).

Для функции $y = \ln(-x)$

Область определения исходной функции задается условием $-x > 0$, то есть $x < 0$. Находим производную: $y' = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$. Функция $y' = 1/x$ при $x < 0$ является убывающей (так как ее производная $y'' = -1/x^2 < 0$), ее значения всегда отрицательны. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$ (при $x \to -\infty$). В точке $x=-1$ значение функции равно $y'(-1) = 1/(-1) = -1$. Эти свойства полностью соответствуют графику на рисунке а).

Ответ: а).

Для функции $y = \sin(2x)$

Производная этой функции: $y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$. Это периодическая функция (косинусоида) с амплитудой, равной 2, и периодом $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. В точке $x=0$ значение функции равно $y'(0) = 2\cos(0) = 2$. График с такими свойствами изображен на рисунке в).

Ответ: в).

Для функции $y = 2\cos(x)$

Производная этой функции: $y' = (2\cos x)' = 2(-\sin x) = -2\sin x$. Это периодическая функция (синусоида, отраженная относительно оси абсцисс) с амплитудой, равной 2, и периодом $T = 2\pi$. В точке $x=0$ значение функции равно $y'(0) = -2\sin(0) = 0$. График с такими свойствами изображен на рисунке б).

Ответ: б).