Номер 883, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 883, страница 258.

Условие.

883 Найти значения x, при которых значение производной функции $f(x)$ равно нулю; положительно; отрицательно:

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$

2) $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$

3) $f(x) = x + \ln 2x$

4) $f(x) = x + \ln (2x + 1)$

5) $f(x) = 6x - x \sqrt{x}$

6) $f(x) = (x + 1) \sqrt{x + 1} - 3x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$. Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции, используя формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$:

$f'(x) = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 \cdot (-x)' = 2^x \ln 2 - 2^{-x} \ln 2 = \ln 2 (2^x - 2^{-x})$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$.

Так как $\ln 2 \neq 0$, то $2^x - 2^{-x} = 0$, или $2^x = 2^{-x}$. Отсюда следует, что $x = -x$, то есть $2x = 0$ и $x = 0$.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) > 0$.

Так как $\ln 2 > 0$, неравенство равносильно $2^x - 2^{-x} > 0$, или $2^x > 2^{-x}$. Так как основание $2 > 1$, то $x > -x$, то есть $2x > 0$ и $x > 0$.

Найдем значения $x$, при которых производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) < 0$.

Так как $\ln 2 > 0$, неравенство равносильно $2^x - 2^{-x} < 0$, или $2^x < 2^{-x}$. Так как основание $2 > 1$, то $x < -x$, то есть $2x < 0$ и $x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$, положительна при $x \in (0, +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty, 0)$.

2)

Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$. Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (3^{2x})' - (2x \ln 3)' = 3^{2x} \ln 3 \cdot (2x)' - 2 \ln 3 = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 - 2 \ln 3 = 2 \ln 3 (3^{2x} - 1)$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$.

Так как $2 \ln 3 \neq 0$, то $3^{2x} - 1 = 0$, или $3^{2x} = 1$. Отсюда $2x=0$ и $x = 0$.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна: $f'(x) > 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) > 0$.

Так как $2 \ln 3 > 0$, неравенство равносильно $3^{2x} - 1 > 0$, или $3^{2x} > 1$. Так как основание $3 > 1$, то $2x > 0$ и $x > 0$.

Найдем значения $x$, при которых производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) < 0$.

Неравенство равносильно $3^{2x} - 1 < 0$, или $3^{2x} < 1$. Так как основание $3 > 1$, то $2x < 0$ и $x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$, положительна при $x \in (0, +\infty)$, отрицательна при $x \in (-\infty, 0)$.

3)

Дана функция $f(x) = x + \ln(2x)$.

Область определения функции задается условием $2x > 0$, то есть $x > 0$. $D(f) = (0, +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (x)' + (\ln(2x))' = 1 + \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Это значение не входит в область определения функции, следовательно, производная в нуль не обращается.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{1}{x} > 0$. Для всех $x$ из области определения ($x > 0$) имеем $\frac{1}{x} > 0$, поэтому $1 + \frac{1}{x}$ всегда больше 1. Следовательно, производная положительна на всей области определения.

Найдем значения $x$, при которых производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$1 + \frac{1}{x} < 0$. Так как на области определения $1 + \frac{1}{x} > 1$, это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (0, +\infty)$, не обращается в нуль и не принимает отрицательных значений на области определения.

4)

Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции задается условием $2x + 1 > 0$, то есть $2x > -1$, $x > -1/2$. $D(f) = (-1/2, +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x)' + (\ln(2x + 1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1} = \frac{2x+1+2}{2x+1} = \frac{2x+3}{2x+1}$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{2x+3}{2x+1} = 0 \implies 2x+3=0 \implies x = -3/2$.

Это значение не входит в область определения $x > -1/2$, следовательно, производная в нуль не обращается.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна или отрицательна. Знак дроби $\frac{2x+3}{2x+1}$ зависит от знаков числителя и знаменателя.

На области определения $x > -1/2$, знаменатель $2x+1 > 0$.

Рассмотрим числитель: если $x > -1/2$, то $2x > -1$, и $2x+3 > -1+3=2$. Таким образом, числитель $2x+3$ также всегда положителен на области определения.

Так как и числитель, и знаменатель положительны при $x > -1/2$, то $f'(x) > 0$ на всей области определения.

Следовательно, не существует значений $x$, при которых производная была бы отрицательна.

Ответ: производная положительна при $x \in (-1/2, +\infty)$, не обращается в нуль и не принимает отрицательных значений на области определения.

5)

Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием $x \ge 0$. $D(f) = [0, +\infty)$. Функцию можно переписать в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (6x)' - (x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$. Производная определена на $x \ge 0$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies 6 = \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x=16$. Это значение входит в область определения.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна: $f'(x) > 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0 \implies 6 > \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 > \sqrt{x}$.

Так как $\sqrt{x} \ge 0$, возводим в квадрат: $16 > x$. С учетом области определения $x \ge 0$, получаем $0 \le x < 16$.

Найдем значения $x$, при которых производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} < 0 \implies 6 < \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 < \sqrt{x}$.

Возводим в квадрат: $16 < x$.

Ответ: производная равна нулю при $x=16$, положительна при $x \in [0, 16)$, отрицательна при $x \in (16, +\infty)$.

6)

Дана функция $f(x) = (x+1)\sqrt{x+1} - 3x$.

Область определения функции задается условием $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. $D(f) = [-1, +\infty)$. Функцию можно переписать в виде $f(x) = (x+1)^{3/2} - 3x$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = ((x+1)^{3/2})' - (3x)' = \frac{3}{2}(x+1)^{1/2} \cdot (x+1)' - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3$. Производная определена на $x \ge -1$.

Найдем значения $x$, при которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} = 3 \implies \sqrt{x+1} = 2$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x+1=4$, откуда $x=3$. Это значение входит в область определения.

Найдем значения $x$, при которых производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 > 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} > 3 \implies \sqrt{x+1} > 2$.

Возводим в квадрат: $x+1 > 4$, откуда $x>3$.

Найдем значения $x$, при которых производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 < 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} < 3 \implies \sqrt{x+1} < 2$.

Возводим в квадрат: $x+1 < 4$, откуда $x < 3$. С учетом области определения $x \ge -1$, получаем $-1 \le x < 3$.

Ответ: производная равна нулю при $x=3$, положительна при $x \in (3, +\infty)$, отрицательна при $x \in [-1, 3)$.