Номер 2, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя к главе 8 - номер 2, страница 258.

Условие.

2 Найти производную функции:

1) $\frac{3}{x} + 2 \sqrt{x - e^x}$;

2) $(3x - 5)^4$;

3) $3 \sin 2x \cos x$;

4) $\frac{x^3}{x^2 + 5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{3}{x} + 2\sqrt{x} - e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций, согласно которому производная суммы равна сумме производных. Представим функцию в виде суммы степенных функций и экспоненты: $y = 3x^{-1} + 2x^{1/2} - e^x$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и табличную производную $(e^x)' = e^x$.

Производная первого слагаемого: $(3x^{-1})' = 3 \cdot (-1)x^{-1-1} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Производная второго слагаемого: $(2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Производная третьего слагаемого: $(-e^x)' = -e^x$.

Сложив полученные производные, получаем производную исходной функции:

$y' = -\frac{3}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x$.

Ответ: $-\frac{3}{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} - e^x$.

2) Для нахождения производной функции $y = (3x - 5)^4$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^4$, а внутренняя функция — линейная $g(x) = 3x - 5$.

Находим производную внешней функции: $f'(u) = (u^4)' = 4u^3$.

Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (3x - 5)' = 3$.

Теперь, согласно цепному правилу, перемножаем производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$y' = 4(3x - 5)^3 \cdot 3 = 12(3x - 5)^3$.

Ответ: $12(3x - 5)^3$.

3) Для нахождения производной функции $y = 3 \sin(2x) \cos(x)$ используем правило дифференцирования произведения функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u = 3 \sin(2x)$ и $v = \cos(x)$.

Найдем производную $u$. Это сложная функция, поэтому применяем цепное правило: $u' = (3 \sin(2x))' = 3 \cdot (\cos(2x)) \cdot (2x)' = 3 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6 \cos(2x)$.

Найдем производную $v$: $v' = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (6 \cos(2x))(\cos(x)) + (3 \sin(2x))(-\sin(x))$.

Таким образом, производная равна:

$y' = 6 \cos(2x) \cos(x) - 3 \sin(2x) \sin(x)$.

Ответ: $6 \cos(2x) \cos(x) - 3 \sin(2x) \sin(x)$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3}{x^2 + 5}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь числитель $u = x^3$, а знаменатель $v = x^2 + 5$.

Находим производную числителя: $u' = (x^3)' = 3x^2$.

Находим производную знаменателя: $v' = (x^2 + 5)' = 2x$.

Подставляем эти значения в формулу для производной частного:

$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 5) - (x^3)(2x)}{(x^2 + 5)^2}$.

Теперь упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2 + 5)^2}$.

Можно вынести общий множитель $x^2$ в числителе для более компактного вида:

$y' = \frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2 + 5)^2}$.

Ответ: $\frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2 + 5)^2}$.