Номер 1, страница 258 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя к главе 8 - номер 1, страница 258.

Условие.

1 Найти значение производной функции $f(x) = 3x^3 + 4x - 1$ в точке $x = 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для того чтобы найти значение производной функции в точке, необходимо выполнить два действия:
1. Найти производную функции.
2. Подставить значение точки в полученное выражение для производной.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = 3x^3 + 4x - 1$.
Для нахождения производной $f'(x)$ будем использовать основные правила дифференцирования:
- Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
- Производная суммы функций: $(u+v)' = u' + v'$.
- Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.

Применим эти правила к нашей функции:
$f'(x) = (3x^3 + 4x - 1)' = (3x^3)' + (4x)' - (1)'$

Вычислим производную для каждого слагаемого:
$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2$
$(4x)' = 4 \cdot (x^1)' = 4 \cdot 1x^{1-1} = 4 \cdot x^0 = 4$
$(1)' = 0$

Таким образом, производная функции имеет вид:
$f'(x) = 9x^2 + 4 - 0 = 9x^2 + 4$

2. Вычисление значения производной в точке $x = 3$

Теперь подставим значение $x = 3$ в найденную производную $f'(x) = 9x^2 + 4$:
$f'(3) = 9 \cdot (3)^2 + 4$

Выполним вычисления:
$f'(3) = 9 \cdot 9 + 4 = 81 + 4 = 85$

Ответ: 85