Номер 876, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Упражнения к главе 8 - номер 876, страница 257.

Условие.

876 Найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \cos x \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = e^x \ln x$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{x}{1+e^x}$, $x_0 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = \cos x \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Для нахождения производной сначала упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Отсюда $\cos\alpha\sin\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Таким образом, $f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = e^x \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = e^1 \left(\ln 1 + \frac{1}{1}\right) = e(0 + 1) = e$.

Ответ: $e$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Функцию можно переписать, используя определение котангенса: $f(x) = 2\cot x$.

Найдем производную функции, зная, что $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:

$f'(x) = (2\cot x)' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{2}{\sin^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{2}{\frac{2}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.

Ответ: $-4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x}{1 + e^x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x)'(1 + e^x) - x(1 + e^x)'}{(1 + e^x)^2} = \frac{1 \cdot (1 + e^x) - x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{1 + e^x - xe^x}{(1 + e^x)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{1 + e^0 - 0 \cdot e^0}{(1 + e^0)^2} = \frac{1 + 1 - 0}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.