Номер 869, страница 257 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 8. Глава 8. Производная и её геометрический смысл - номер 869, страница 257.

Найти производную функции (869–874).

869 1) $2x^4 - x^3 + 3x + 4$;

2) $-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$;

3) $6 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$;

4) $\frac{2}{x^3} - 8 \sqrt[4]{x}$;

5) $(2x + 3)^8$;

6) $(4 - 3x)^7$;

7) $\sqrt[3]{3x - 2}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$.

1) Для функции $y = 2x^4 - x^3 + 3x + 4$ производную находим, используя правила дифференцирования суммы, степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$, и тот факт, что производная константы равна нулю.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
$y' = (2x^4 - x^3 + 3x + 4)' = (2x^4)' - (x^3)' + (3x)' + (4)'$
$= 2 \cdot (x^4)' - (x^3)' + 3 \cdot (x)' + 0$
$= 2 \cdot 4x^{4-1} - 3x^{3-1} + 3 \cdot 1x^{1-1}$
$= 8x^3 - 3x^2 + 3x^0 = 8x^3 - 3x^2 + 3$.
Ответ: $8x^3 - 3x^2 + 3$.

2) Для функции $y = -x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1$ применяем те же правила, что и в предыдущем примере.
$y' = (-x^5 + 2x^3 - 3x^2 - 1)' = (-x^5)' + (2x^3)' - (3x^2)' - (1)'$
$= -1 \cdot 5x^{5-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0$
$= -5x^4 + 6x^2 - 6x$.
Ответ: $-5x^4 + 6x^2 - 6x$.

3) Дана функция $y = 6\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^2}$.
Для нахождения производной, представим функцию в виде степеней: $y = 6x^{1/3} + x^{-2}$.
Применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$y' = (6x^{1/3} + x^{-2})' = (6x^{1/3})' + (x^{-2})'$
$= 6 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} + (-2)x^{-2-1}$
$= 2x^{-2/3} - 2x^{-3}$.
Запишем результат в виде с корнями и дробями:
$y' = \frac{2}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{2}{x^3}$.

4) Дана функция $y = \frac{2}{x^3} - 8\sqrt[4]{x}$.
Представим функцию в виде степеней: $y = 2x^{-3} - 8x^{1/4}$.
Дифференцируем по правилу производной разности и степенной функции:
$y' = (2x^{-3} - 8x^{1/4})' = (2x^{-3})' - (8x^{1/4})'$
$= 2 \cdot (-3)x^{-3-1} - 8 \cdot \frac{1}{4}x^{1/4-1}$
$= -6x^{-4} - 2x^{-3/4}$.
Вернемся к исходной форме записи:
$y' = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{x^{3/4}} = -\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $-\frac{6}{x^4} - \frac{2}{\sqrt[4]{x^3}}$.

5) Дана функция $y = (2x+3)^8$.
Это сложная функция. Для ее дифференцирования используется правило производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = u^8$, а внутренняя функция $g(x) = 2x+3$.
Находим их производные: $f'(u) = 8u^7$ и $g'(x) = (2x+3)' = 2$.
Применяем цепное правило:
$y' = 8(2x+3)^{8-1} \cdot (2x+3)' = 8(2x+3)^7 \cdot 2 = 16(2x+3)^7$.
Ответ: $16(2x+3)^7$.

6) Дана функция $y = (4-3x)^7$.
Это также сложная функция. Внешняя функция $f(u) = u^7$, внутренняя $g(x) = 4-3x$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4-3x)' = -3$.
Применяем цепное правило:
$y' = 7(4-3x)^{7-1} \cdot (4-3x)' = 7(4-3x)^6 \cdot (-3) = -21(4-3x)^6$.
Ответ: $-21(4-3x)^6$.

7) Дана функция $y = \sqrt[3]{3x-2}$.
Представим в виде степени: $y = (3x-2)^{1/3}$.
Это сложная функция, где внешняя $f(u) = u^{1/3}$ и внутренняя $g(x) = 3x-2$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x-2)' = 3$.
Применяем цепное правило и правило для степенной функции:
$y' = \frac{1}{3}(3x-2)^{1/3 - 1} \cdot (3x-2)' = \frac{1}{3}(3x-2)^{-2/3} \cdot 3 = (3x-2)^{-2/3}$.
Запишем ответ в виде корня:
$y' = \frac{1}{(3x-2)^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}}$.

8) Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$.
Представим в виде степени: $y = (1-4x)^{-1/2}$.
Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = u^{-1/2}$, внутренняя $g(x) = 1-4x$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (1-4x)' = -4$.
Применяем цепное правило:
$y' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-1/2 - 1} \cdot (1-4x)' = -\frac{1}{2}(1-4x)^{-3/2} \cdot (-4) = 2(1-4x)^{-3/2}$.
Запишем ответ в виде дроби с корнем:
$y' = \frac{2}{(1-4x)^{3/2}} = \frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.
Ответ: $\frac{2}{\sqrt{(1-4x)^3}}$.