Номер 863, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 863, страница 256.

Условие.

863 Найти угол между осью Oy и касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке с абсциссой $x = 0$:

1) $f(x) = x + e^{-x}$;

2) $f(x) = \cos x$;

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения угла между осью $Oy$ и касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, мы сначала найдем угловой коэффициент касательной в этой точке. Угловой коэффициент $k$ равен значению производной функции в точке касания, $k = f'(x_0)$.

Этот коэффициент $k$ является тангенсом угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$, то есть $k = \tan(\alpha)$.

Угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$ является дополнением угла $\alpha$ до $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), если рассматривать острый угол. Отсюда следует, что $\tan(\beta) = \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{k}$.

Таким образом, искомый угол $\beta$ можно найти как $\beta = \arctan\left(\left|\frac{1}{k}\right|\right)$. Если $k=0$, то касательная горизонтальна, и угол с вертикальной осью $Oy$ равен $90^\circ$.

В данной задаче $x_0 = 0$.

1) $f(x) = x + e^{-x}$

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = f'(0) = 1 - e^{-0} = 1 - 1 = 0$.

Поскольку угловой коэффициент равен нулю, касательная к графику в этой точке является горизонтальной прямой. Ось $Oy$ является вертикальной прямой. Угол между горизонтальной и вертикальной прямыми всегда равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = \cos x$

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x = 0$:

$k = f'(0) = -\sin(0) = 0$.

Угловой коэффициент снова равен нулю. Это означает, что касательная к графику функции в точке $x=0$ горизонтальна. Угол между горизонтальной касательной и вертикальной осью $Oy$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$.

3) $f(x) = \sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}} \cdot \left(x+1+e^{\frac{x}{2}}\right)' = \frac{1 + \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}}{2\sqrt{x+1+e^{\frac{x}{2}}}}$.

Вычислим значение производной в точке $x = 0$:

$k = f'(0) = \frac{1 + \frac{1}{2}e^{\frac{0}{2}}}{2\sqrt{0+1+e^{\frac{0}{2}}}} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2\sqrt{1+1}} = \frac{\frac{3}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.

Мы нашли угловой коэффициент касательной $k = \frac{3}{4\sqrt{2}}$. Тангенс угла $\beta$ между касательной и осью $Oy$ равен $\left|\frac{1}{k}\right|$.

$\tan(\beta) = \left|\frac{1}{\frac{3}{4\sqrt{2}}}\right| = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\beta$ равен арктангенсу этого значения.

$\beta = \arctan\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$.