Номер 856, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 856, страница 250.

Условие.

856 Найти производную функции $ln (x^2 - 5x + 6)$ при $x < 2$ и при $x > 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения производной функции $y = \ln(x^2 - 5x + 6)$ необходимо сначала определить ее область определения, а затем применить правило дифференцирования сложной функции.

1. Область определения функции.

Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным. Решим неравенство:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 6 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < 2$ или $x > 3$.

Область определения функции $D(y) = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$, что совпадает с интервалами, указанными в условии задачи.

2. Нахождение производной.

Данная функция является сложной функцией вида $y = \ln(u)$, где внутренняя функция $u(x) = x^2 - 5x + 6$.

Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом):

$y' = (\ln(u(x)))' = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 5x + 6)' = 2x - 5$

Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной сложной функции:

$y' = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 6}$

Это выражение для производной справедливо на всей области определения функции, то есть как для $x < 2$, так и для $x > 3$.

при x < 2

На интервале $(-\infty, 2)$ производная функции определяется по общей формуле, полученной выше. Таким образом, производная функции равна $y' = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 6}$.

Ответ: $\frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 6}$

при x > 3

Аналогично, на интервале $(3, +\infty)$ производная функции определяется по той же самой общей формуле: $y' = \frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 6}$.

Ответ: $\frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 6}$