Номер 850, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 850, страница 250.

Условие.

850 1) $\frac{e^x - e^{-x}}{x}$;

2) $\frac{2^x - \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для нахождения производной функции $y = \frac{e^x - e^{-x}}{x}$ необходимо применить правило дифференцирования частного (или правило дроби), которое гласит:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

В данном случае, пусть $u(x) = e^x - e^{-x}$ и $v(x) = x$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

Производная числителя $u'(x)$:

$u'(x) = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^x + e^{-x}$

Производная знаменателя $v'(x)$:

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила частного:

$y' = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x - (e^x - e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки в числителе:

$y' = \frac{xe^x + xe^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2}$

Это и есть искомая производная.

Ответ: $y' = \frac{xe^x + xe^{-x} - e^x + e^{-x}}{x^2}$

2)

Для нахождения производной функции $y = \frac{2^x - \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$ мы также воспользуемся правилом дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = 2^x - \log_2 x$ и $v(x) = x \ln 2$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$. Нам понадобятся следующие формулы:

• Производная показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$
• Производная логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Производная числителя $u'(x)$:

$u'(x) = (2^x - \log_2 x)' = (2^x)' - (\log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}$

Производная знаменателя $v'(x)$ (где $\ln 2$ — это константа):

$v'(x) = (x \ln 2)' = \ln 2 \cdot (x)' = \ln 2 \cdot 1 = \ln 2$

Подставим полученные выражения в формулу правила частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right) \cdot (x \ln 2) - (2^x - \log_2 x) \cdot \ln 2}{(x \ln 2)^2}$

Теперь упростим числитель. Сначала раскроем первую скобку:

$\left(2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2}\right) \cdot (x \ln 2) = (2^x \ln 2)(x \ln 2) - \left(\frac{1}{x \ln 2}\right)(x \ln 2) = x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1$

Затем раскроем вторую часть числителя, используя свойство логарифмов $\log_a b \cdot \ln a = \ln b$ (в нашем случае $\log_2 x \cdot \ln 2 = \ln x$):

$(2^x - \log_2 x) \cdot \ln 2 = 2^x \ln 2 - \log_2 x \cdot \ln 2 = 2^x \ln 2 - \ln x$

Объединим части числителя:

$(x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1) - (2^x \ln 2 - \ln x) = x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 1 - 2^x \ln 2 + \ln x$

Знаменатель равен $(x \ln 2)^2 = x^2 (\ln 2)^2$.

Запишем итоговое выражение для производной:

$y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x \cdot 2^x (\ln 2)^2 - 2^x \ln 2 + \ln x - 1}{x^2 (\ln 2)^2}$