Номер 846, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 846, страница 250.

Условие.

846 1) $\ln \sqrt{x-1}$;

2) $e^{\sqrt{3+x}}$;

3) $\ln (\cos x)$;

4) $\ln (\sin x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем производную функции $y = \ln \sqrt{x-1}$.
Для упрощения вычислений воспользуемся свойством логарифма $\ln a^b = b \ln a$ и представим функцию в виде:
$y = \ln (x-1)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln(x-1)$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\frac{1}{2}\ln u)'$ равна $\frac{1}{2u}$, а производная внутренней функции $(x-1)'$ равна $1$.
$y' = \left(\frac{1}{2} \ln(x-1)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} \cdot 1 = \frac{1}{2(x-1)}$.
Ответ: $\frac{1}{2(x-1)}$

2) Найдем производную функции $y = e^{\sqrt{3+x}}$.
Это сложная функция. Воспользуемся цепным правилом $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция $f(u) = e^u$, ее производная $f'(u) = e^u$.
Внутренняя функция $g(x) = \sqrt{3+x}$, ее производная $g'(x) = (\sqrt{3+x})' = \left((3+x)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(3+x)^{-1/2} \cdot (3+x)' = \frac{1}{2\sqrt{3+x}}$.
Собираем все вместе:
$y' = e^{\sqrt{3+x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3+x}} = \frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2\sqrt{3+x}}$.
Ответ: $\frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2\sqrt{3+x}}$

3) Найдем производную функции $y = \ln(\cos x)$.
Это сложная функция. Применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.
Внутренняя функция $g(x) = \cos x$, ее производная $g'(x) = -\sin x$.
Подставляем в формулу цепного правила:
$y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
Ответ: $-\tan x$

4) Найдем производную функции $y = \ln(\sin x)$.
Это сложная функция. Применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = \ln u$, ее производная $f'(u) = \frac{1}{u}$.
Внутренняя функция $g(x) = \sin x$, ее производная $g'(x) = \cos x$.
Подставляем в формулу цепного правила:
$y' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$.
Ответ: $\cot x$