Номер 847, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 847, страница 250.

Условие.

847 1) $2^{\cos x + 1}$;

2) $0.5^{1 + \sin x}$;

3) $\cos \sqrt[3]{x + 2}$;

4) $\sin (\ln x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти производную функции $y = 2^{\cos x + 1}$, мы используем правило дифференцирования сложной функции. Данная функция является показательной функцией вида $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени $u(x) = \cos x + 1$.
Производная такой функции вычисляется по формуле $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (\cos x + 1)' = (\cos x)' + (1)' = -\sin x + 0 = -\sin x$.
Теперь подставим все в формулу производной сложной функции:
$y' = (2^{\cos x + 1})' = 2^{\cos x + 1} \cdot \ln 2 \cdot (-\sin x)$.
Перегруппируем множители для более аккуратной записи:
$y' = -(\ln 2) \cdot \sin x \cdot 2^{\cos x + 1}$.
Ответ: $y' = -(\ln 2) \sin x \cdot 2^{\cos x + 1}$.

2) Чтобы найти производную функции $y = 0.5^{1 + \sin x}$, мы также используем правило для сложной показательной функции $y = a^{u(x)}$, где $a=0.5$ и $u(x) = 1 + \sin x$.
Формула для производной: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.
Найдем производную показателя степени $u'(x)$:
$u'(x) = (1 + \sin x)' = (1)' + (\sin x)' = 0 + \cos x = \cos x$.
Теперь вычислим производную исходной функции:
$y' = (0.5^{1 + \sin x})' = 0.5^{1 + \sin x} \cdot \ln(0.5) \cdot \cos x$.
Значение $\ln(0.5)$ можно упростить: $\ln(0.5) = \ln(1/2) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$.
Подставим это значение обратно в выражение для производной:
$y' = 0.5^{1 + \sin x} \cdot (-\ln 2) \cdot \cos x = -(\ln 2) \cos x \cdot 0.5^{1 + \sin x}$.
Ответ: $y' = -(\ln 2) \cos x \cdot 0.5^{1 + \sin x}$.

3) Чтобы найти производную функции $y = \cos \sqrt[3]{x+2}$, мы применяем правило дифференцирования сложной функции для тригонометрических функций. Функция имеет вид $y=\cos(u(x))$, где $u(x) = \sqrt[3]{x+2}$.
Производная такой функции находится по формуле $(\cos(u(x)))' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u(x) = \sqrt[3]{x+2}$. Представим ее в виде степени: $u(x) = (x+2)^{1/3}$.
Используем правило дифференцирования степенной функции и цепное правило:
$u'(x) = \left((x+2)^{1/3}\right)' = \frac{1}{3}(x+2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x+2)' = \frac{1}{3}(x+2)^{-2/3} \cdot 1 = \frac{1}{3(x+2)^{2/3}}$.
Выражение для производной можно также записать через корень: $u'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в основную формулу:
$y' = -\sin(\sqrt[3]{x+2}) \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}} = -\frac{\sin(\sqrt[3]{x+2})}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{\sin(\sqrt[3]{x+2})}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$.

4) Чтобы найти производную функции $y = \sin(\ln x)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции. Функция имеет вид $y=\sin(u(x))$, где $u(x) = \ln x$.
Производная такой функции находится по формуле $(\sin(u(x)))' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производную внутренней функции $u(x) = \ln x$:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной синуса:
$y' = (\sin(\ln x))' = \cos(\ln x) \cdot (\ln x)' = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$.
Запишем результат в виде дроби:
$y' = \frac{\cos(\ln x)}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos(\ln x)}{x}$.