Номер 848, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 848, страница 250.

Условие.

848 1) $\sqrt{x^2+2x-1}$;

2) $\sqrt[3]{\sin x}$;

3) $\sqrt[4]{\cos x}$;

4) $\sqrt{\log_2 x}$.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = \sqrt{x^2+2x-1}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как корень четной степени (квадратный корень) определен только для неотрицательных чисел. Таким образом, мы должны решить неравенство:

$x^2+2x-1 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+2x-1 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2-4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=2$, $c=-1$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Получаем два корня: $x_1 = -1 - \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{2}$.

Парабола $y=x^2+2x-1$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку $a=1>0$). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения при $x \le x_1$ и $x \ge x_2$.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2}; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[3]{\sin x}$ корень нечетной степени (кубический корень) определен для любого действительного числа. Выражение под корнем, $\sin x$, также определено для всех действительных значений $x$.

Следовательно, область определения данной функции — все действительные числа.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) Для функции $y = \sqrt[4]{\cos x}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как корень четной степени (корень четвертой степени) определен только для неотрицательных чисел. Таким образом, мы должны решить неравенство:

$\cos x \ge 0$

Функция косинуса неотрицательна в I и IV координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение интервалов:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $y = \sqrt{\log_2 x}$ необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_2 x \ge 0$.

Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Мы можем переписать $0$ как $\log_2 1$.

$\log_2 x \ge \log_2 1$

Это неравенство равносильно $x \ge 1$.

Теперь необходимо найти пересечение решений двух условий: $x > 0$ и $x \ge 1$. Общим решением является $x \ge 1$.

Таким образом, область определения функции: $x \in [1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.