Номер 843, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 843, страница 250.

Условие.

Найти производную функции (843—851).

843 1) $\sqrt{\frac{2x-1}{3}} + \ln \frac{2x+3}{5}$;

2) $\sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2\ln \frac{2-5x}{3}$;

3) $2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos \frac{1-x}{2}$;

4) $3e^{\frac{2-x}{3}} - 2\sin \frac{1+x}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt{\frac{2x - 1}{3}} + \ln \frac{2x + 3}{5}$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных.

$y' = \left(\sqrt{\frac{2x - 1}{3}}\right)' + \left(\ln \frac{2x + 3}{5}\right)'$

Найдем производную первого слагаемого. Это сложная функция, поэтому применим правило цепного дифференцирования $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$\left(\sqrt{\frac{2x - 1}{3}}\right)' = \left(\left(\frac{2x - 1}{3}\right)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}\left(\frac{2x - 1}{3}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{2x - 1}{3}\right)'$

$\frac{1}{2\sqrt{\frac{2x - 1}{3}}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{6x-3}}$

Найдем производную второго слагаемого. Также используем правило дифференцирования сложной функции.

$\left(\ln \frac{2x + 3}{5}\right)' = \frac{1}{\frac{2x + 3}{5}} \cdot \left(\frac{2x + 3}{5}\right)' = \frac{5}{2x + 3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{2x + 3}$

Теперь сложим полученные производные:

$y' = \frac{1}{\sqrt{6x-3}} + \frac{2}{2x+3}$

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{6x-3}} + \frac{2}{2x+3}$

2) Найдем производную функции $y = \sqrt{\frac{1-x}{6}} - 2 \ln \frac{2-5x}{3}$.

Воспользуемся правилом дифференцирования разности:

$y' = \left(\sqrt{\frac{1-x}{6}}\right)' - \left(2 \ln \frac{2-5x}{3}\right)'$

Найдем производную уменьшаемого:

$\left(\sqrt{\frac{1-x}{6}}\right)' = \left(\left(\frac{1-x}{6}\right)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}\left(\frac{1-x}{6}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{1-x}{6}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{6}}} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{2\sqrt{6}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{2\sqrt{6-6x}}$

Найдем производную вычитаемого:

$\left(2 \ln \frac{2-5x}{3}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{\frac{2-5x}{3}} \cdot \left(\frac{2-5x}{3}\right)' = 2 \cdot \frac{3}{2-5x} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{6}{2-5x} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{-10}{2-5x}$

Теперь найдем разность производных:

$y' = -\frac{1}{2\sqrt{6-6x}} - \left(\frac{-10}{2-5x}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{6-6x}} + \frac{10}{2-5x}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{6-6x}} + \frac{10}{2-5x}$

3) Найдем производную функции $y = 2e^{\frac{1-x}{3}} + 3\cos\frac{1-x}{2}$.

Используем правило дифференцирования суммы:

$y' = \left(2e^{\frac{1-x}{3}}\right)' + \left(3\cos\frac{1-x}{2}\right)'$

Найдем производную первого слагаемого, используя правило для экспоненциальной функции $(e^u)'=e^u \cdot u'$:

$\left(2e^{\frac{1-x}{3}}\right)' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(\frac{1-x}{3}\right)' = 2e^{\frac{1-x}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}}$

Найдем производную второго слагаемого, используя правило для косинуса $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$:

$\left(3\cos\frac{1-x}{2}\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{1-x}{2}\right) \cdot \left(\frac{1-x}{2}\right)' = -3\sin\frac{1-x}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$

Сложим полученные результаты:

$y' = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}} + \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$

Ответ: $y' = -\frac{2}{3}e^{\frac{1-x}{3}} + \frac{3}{2}\sin\frac{1-x}{2}$

4) Найдем производную функции $y = 3e^{\frac{2-x}{3}} - 2\sin\frac{1+x}{4}$.

Используем правило дифференцирования разности:

$y' = \left(3e^{\frac{2-x}{3}}\right)' - \left(2\sin\frac{1+x}{4}\right)'$

Найдем производную первого слагаемого:

$\left(3e^{\frac{2-x}{3}}\right)' = 3e^{\frac{2-x}{3}} \cdot \left(\frac{2-x}{3}\right)' = 3e^{\frac{2-x}{3}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -e^{\frac{2-x}{3}}$

Найдем производную второго слагаемого, используя правило для синуса $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:

$\left(2\sin\frac{1+x}{4}\right)' = 2\cos\frac{1+x}{4} \cdot \left(\frac{1+x}{4}\right)' = 2\cos\frac{1+x}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\cos\frac{1+x}{4}$

Вычтем вторую производную из первой:

$y' = -e^{\frac{2-x}{3}} - \frac{1}{2}\cos\frac{1+x}{4}$

Ответ: $y' = -e^{\frac{2-x}{3}} - \frac{1}{2}\cos\frac{1+x}{4}$