Номер 837, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 837, страница 249.

Условие.

837 1) $\sin (2x - 1);$

2) $\cos (x + 2);$

3) $\sin (3 - x);$

4) $\cos (x^3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin(2x-1)$

Для нахождения производной функции $y = \sin(2x - 1)$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $g(x) = 2x - 1$.

Находим производные этих функций:

Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x - 1)' = 2$.

Теперь подставляем всё в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(2x - 1) \cdot 2 = 2\cos(2x - 1)$.

Ответ: $2\cos(2x - 1)$.

2) $\cos(x+2)$

Для нахождения производной функции $y = \cos(x + 2)$ применим правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $g(x) = x + 2$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x + 2)' = 1$.

Подставляем в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x + 2) \cdot 1 = -\sin(x + 2)$.

Ответ: $-\sin(x + 2)$.

3) $\sin(3-x)$

Для нахождения производной функции $y = \sin(3 - x)$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя функция $g(x) = 3 - x$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (3 - x)' = -1$.

Подставляем в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(3 - x) \cdot (-1) = -\cos(3 - x)$.

Ответ: $-\cos(3 - x)$.

4) $\cos(x^3)$

Для нахождения производной функции $y = \cos(x^3)$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $g(x) = x^3$.

Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$.

Ответ: $-3x^2\sin(x^3)$.