Номер 836, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 836, страница 249.

Условие.

836 1) $\sin x + x^2$;

2) $\cos x - 1$;

3) $\cos x + e^x$;

4) $\sin x - 2^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin x + x^2$

Чтобы найти производную функции $y = \sin x + x^2$, мы используем правило дифференцирования суммы, которое гласит, что производная суммы двух функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
В нашем случае $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2$.
Найдём производную каждого слагаемого:
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Производная степенной функции $x^2$ находится по правилу $(x^n)' = nx^{n-1}$: $(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.
Теперь сложим полученные производные:
$(\sin x + x^2)' = (\sin x)' + (x^2)' = \cos x + 2x$.

Ответ: $\cos x + 2x$.

2) $\cos x - 1$

Чтобы найти производную функции $y = \cos x - 1$, мы используем правило дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.
Здесь $f(x) = \cos x$ и $g(x) = 1$.
Найдём производную каждого члена выражения:
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная константы (в данном случае 1) всегда равна нулю: $(1)' = 0$.
Теперь вычтем одну производную из другой:
$(\cos x - 1)' = (\cos x)' - (1)' = -\sin x - 0 = -\sin x$.

Ответ: $-\sin x$.

3) $\cos x + e^x$

Для нахождения производной функции $y = \cos x + e^x$ снова применяем правило дифференцирования суммы: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.
В этом примере $f(x) = \cos x$ и $g(x) = e^x$.
Найдём производные:
Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
Производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$.
Сложим производные:
$(\cos x + e^x)' = (\cos x)' + (e^x)' = -\sin x + e^x$.

Ответ: $-\sin x + e^x$.

4) $\sin x - 2^x$

Чтобы найти производную функции $y = \sin x - 2^x$, используем правило дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.
Здесь $f(x) = \sin x$ и $g(x) = 2^x$.
Найдём производные:
Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
Производная показательной функции $a^x$ находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$. В нашем случае $a=2$, поэтому $(2^x)' = 2^x \ln 2$.
Вычтем вторую производную из первой:
$(\sin x - 2^x)' = (\sin x)' - (2^x)' = \cos x - 2^x \ln 2$.

Ответ: $\cos x - 2^x \ln 2$.