Номер 831, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 831, страница 249.

Условие.

Найти производную функции (831–839).

831 1) $e^x + 1;$ 2) $e^x + x^2;$ 3) $e^{2x} + \frac{1}{x};$ 4) $e^{-3x} + \sqrt{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для функции $y = e^x + 1$ найдем производную.
Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Производная суммы функций равна сумме их производных.
$y' = (e^x + 1)' = (e^x)' + (1)'$
Производная экспоненциальной функции $(e^x)'$ равна самой функции $e^x$.
Производная константы $(1)'$ равна нулю.
Следовательно, $y' = e^x + 0 = e^x$.
Ответ: $e^x$.

2) Для функции $y = e^x + x^2$ найдем производную.
Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (e^x + x^2)' = (e^x)' + (x^2)'$
Производная от $e^x$ равна $e^x$.
Производная от степенной функции $x^2$ находится по правилу $(x^n)' = nx^{n-1}$, что дает $2x^{2-1} = 2x$.
Следовательно, $y' = e^x + 2x$.
Ответ: $e^x + 2x$.

3) Для функции $y = e^{2x} + \frac{1}{x}$ найдем производную.
Применяем правило дифференцирования суммы:
$y' = (e^{2x} + \frac{1}{x})' = (e^{2x})' + (\frac{1}{x})'$
Первое слагаемое $e^{2x}$ является сложной функцией. Ее производная находится по правилу $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Здесь $u(x) = 2x$, а $u'(x) = 2$.
$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
Второе слагаемое $\frac{1}{x}$ можно представить как $x^{-1}$. Его производная находится по степенному правилу:
$(\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Складывая результаты, получаем: $y' = 2e^{2x} - \frac{1}{x^2}$.
Ответ: $2e^{2x} - \frac{1}{x^2}$.

4) Для функции $y = e^{-3x} + \sqrt{x}$ найдем производную.
Используем правило дифференцирования суммы:
$y' = (e^{-3x} + \sqrt{x})' = (e^{-3x})' + (\sqrt{x})'$
Первое слагаемое $e^{-3x}$ является сложной функцией. Ее производная находится по правилу $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Здесь $u(x) = -3x$, а $u'(x) = -3$.
$(e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$.
Второе слагаемое $\sqrt{x}$ можно представить как $x^{1/2}$. Его производная находится по степенному правилу:
$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Складывая результаты, получаем: $y' = -3e^{-3x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $-3e^{-3x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.