Номер 834, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 834, страница 249.

Условие.

834 1) $0,5^x + e^{3x}$;

2) $3^x - e^{2x}$;

3) $e^{2-x} + \sqrt[3]{x}$;

4) $e^{3-x} + \frac{1}{x^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы найти производную функции $y = 0,5^x + e^{3x}$, мы используем правило дифференцирования суммы, которое гласит, что производная суммы двух функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Сначала найдем производную от $0,5^x$. По формуле производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$, получаем: $(0,5^x)' = 0,5^x \ln(0,5)$.

Затем найдем производную от $e^{3x}$. Это сложная функция, поэтому мы используем цепное правило: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Здесь $u(x) = 3x$, и $u'(x) = 3$. Таким образом: $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.

Теперь сложим производные, чтобы получить окончательный результат: $y' = (0,5^x)' + (e^{3x})' = 0,5^x \ln(0,5) + 3e^{3x}$.

Ответ: $0,5^x \ln(0,5) + 3e^{3x}$

2)

Для нахождения производной функции $y = 3^x - e^{2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого $3^x$. Используя формулу для производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$, имеем: $(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Найдем производную второго слагаемого $e^{2x}$. Это сложная функция, и по цепному правилу $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, где $u(x) = 2x$ и $u'(x) = 2$: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Вычитая вторую производную из первой, получаем итоговый результат: $y' = (3^x)' - (e^{2x})' = 3^x \ln 3 - 2e^{2x}$.

Ответ: $3^x \ln 3 - 2e^{2x}$

3)

Чтобы найти производную функции $y = e^{2-x} + \sqrt[3]{x}$, представим ее в виде $y = e^{2-x} + x^{1/3}$ и применим правило дифференцирования суммы.

Найдем производную первого слагаемого $e^{2-x}$. По цепному правилу для показательной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, где $u(x) = 2-x$ и $u'(x) = -1$: $(e^{2-x})' = e^{2-x} \cdot (2-x)' = e^{2-x} \cdot (-1) = -e^{2-x}$.

Найдем производную второго слагаемого $x^{1/3}$. По формуле для производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$, где $n=1/3$: $(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. Эту запись можно представить в виде $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Сложив производные, получим: $y' = (e^{2-x})' + (x^{1/3})' = -e^{2-x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $-e^{2-x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

4)

Для нахождения производной функции $y = e^{3-x} + \frac{1}{x^4}$ представим ее в виде $y = e^{3-x} + x^{-4}$ и применим правило дифференцирования суммы.

Найдем производную первого слагаемого $e^{3-x}$. Используя цепное правило $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$, где $u(x) = 3-x$ и $u'(x) = -1$: $(e^{3-x})' = e^{3-x} \cdot (3-x)' = e^{3-x} \cdot (-1) = -e^{3-x}$.

Найдем производную второго слагаемого $x^{-4}$. Используя правило для производной степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$, где $n=-4$: $(x^{-4})' = -4x^{-4-1} = -4x^{-5}$. Это выражение можно записать в виде дроби $-\frac{4}{x^5}$.

Складывая полученные производные, получаем окончательный результат: $y' = (e^{3-x})' + (x^{-4})' = -e^{3-x} - \frac{4}{x^5}$.

Ответ: $-e^{3-x} - \frac{4}{x^5}$