Номер 838, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 838, страница 249.

Условие.

838 1) $\cos\left(\frac{x}{2}-1\right)+e^{3x}$

2) $\sin\left(\frac{x}{3}+3\right)+2^x$

3) $3\cos 4x-\frac{1}{2x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти производную функции $y = \cos(\frac{x}{2} - 1) + e^{3x}$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $y' = (\cos(\frac{x}{2} - 1))' + (e^{3x})'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое — это сложная функция $\cos(\frac{x}{2} - 1)$. Для ее дифференцирования применим правило производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя $g(x) = \frac{x}{2} - 1$.
Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{2} - 1)' = (\frac{1}{2}x - 1)' = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $(\cos(\frac{x}{2} - 1))' = -\sin(\frac{x}{2} - 1) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - 1)$.

Второе слагаемое — это также сложная функция $e^{3x}$. Внешняя функция $f(v) = e^v$, внутренняя $g(x) = 3x$.
Производная внешней функции: $(e^v)' = e^v$.
Производная внутренней функции: $(3x)' = 3$.
Следовательно, $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$.

Сложим полученные производные:
$y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - 1) + 3e^{3x}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - 1) + 3e^{3x}$.

2) Найдем производную функции $y = \sin(\frac{x}{3} + 3) + 2^x$. Используем правило производной суммы: $y' = (\sin(\frac{x}{3} + 3))' + (2^x)'$.

Найдем производную первого слагаемого $\sin(\frac{x}{3} + 3)$ по правилу дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, внутренняя $g(x) = \frac{x}{3} + 3$.
Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $(\frac{x}{3} + 3)' = (\frac{1}{3}x + 3)' = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $(\sin(\frac{x}{3} + 3))' = \cos(\frac{x}{3} + 3) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3} + 3)$.

Второе слагаемое — это показательная функция $2^x$. Ее производная находится по формуле $(a^x)' = a^x \ln a$.
$(2^x)' = 2^x \ln 2$.

Суммируем результаты:
$y' = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3} + 3) + 2^x \ln 2$.

Ответ: $\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3} + 3) + 2^x \ln 2$.

3) Найдем производную функции $y = 3\cos 4x - \frac{1}{2x}$. Используем правило производной разности: $y' = (3\cos 4x)' - (\frac{1}{2x})'$.

Для первого слагаемого $3\cos 4x$ применим правило для константы и правило для сложной функции. Константа выносится за знак производной:
$(3\cos 4x)' = 3 \cdot (\cos 4x)'$.
Производная $\cos 4x$: внешняя функция $\cos u$, внутренняя $4x$.
$(\cos 4x)' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.
Значит, $(3\cos 4x)' = 3 \cdot (-4\sin(4x)) = -12\sin(4x)$.

Для второго слагаемого $\frac{1}{2x}$ представим его в виде степенной функции: $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2}x^{-1}$.
Теперь используем правило производной степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:
$(\frac{1}{2}x^{-1})' = \frac{1}{2} \cdot (-1 \cdot x^{-1-1}) = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

Вычтем вторую производную из первой:
$y' = -12\sin(4x) - (-\frac{1}{2x^2}) = -12\sin(4x) + \frac{1}{2x^2}$.

Ответ: $-12\sin(4x) + \frac{1}{2x^2}$.