Номер 839, страница 249 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 839, страница 249.

Условие.

839 1) $\frac{\cos x}{e^x}$;

2) $\frac{3^x}{\sin x}$;

3) $\ln x \cdot \cos 3x$;

4) $\log_3 x \cdot \sin 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{\cos x}{e^x}$, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = e^x$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (e^x)' = e^x$

Подставляем эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(-\sin x) \cdot e^x - \cos x \cdot e^x}{(e^x)^2}$

Вынесем общий множитель $-e^x$ в числителе:

$y' = \frac{-e^x(\sin x + \cos x)}{e^{2x}}$

Сократим дробь на $e^x$:

$y' = -\frac{\sin x + \cos x}{e^x}$

Ответ: $y' = -\frac{\sin x + \cos x}{e^x}$.

2)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{3^x}{\sin x}$, снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 3^x$ и $v(x) = \sin x$.

Находим производные:

$u'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(3^x \ln 3) \cdot \sin x - 3^x \cdot \cos x}{(\sin x)^2}$

Вынесем общий множитель $3^x$ в числителе:

$y' = \frac{3^x(\ln 3 \cdot \sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{3^x(\ln 3 \cdot \sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$.

3)

Для нахождения производной функции $y = \ln x \cdot \cos 3x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

В данном случае $u(x) = \ln x$ и $v(x) = \cos 3x$.

Находим производные этих функций. Для $v(x)$ используем правило производной сложной функции.

$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

$v'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3 \sin 3x$

Подставляем найденные производные в формулу:

$y' = \frac{1}{x} \cdot \cos 3x + \ln x \cdot (-3 \sin 3x)$

$y' = \frac{\cos 3x}{x} - 3 \ln x \sin 3x$

Ответ: $y' = \frac{\cos 3x}{x} - 3 \ln x \sin 3x$.

4)

Для нахождения производной функции $y = \log_3 x \cdot \sin 2x$ также используем правило дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = \log_3 x$ и $v(x) = \sin 2x$.

Находим производные. Для $u(x)$ используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$, а для $v(x)$ — правило производной сложной функции.

$u'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

$v'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = \frac{1}{x \ln 3} \cdot \sin 2x + \log_3 x \cdot (2 \cos 2x)$

$y' = \frac{\sin 2x}{x \ln 3} + 2 \log_3 x \cos 2x$

Ответ: $y' = \frac{\sin 2x}{x \ln 3} + 2 \log_3 x \cos 2x$.