Номер 844, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 844, страница 250.

Условие.

844 1) $\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}} - 3 \cos \frac{x-2}{3};$

2) $2\sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}} - 5e^{\frac{x-4}{5}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем производную функции $y = \sqrt[3]{\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}}$.
Для начала представим функцию в виде степени:
$y = \left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$
Это сложная функция вида $y=u^{\frac{1}{3}}$, где $u = \frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}$.
Ее производная находится по формуле производной сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В нашем случае, $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.
$y' = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot \left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)'$
$y' = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\left(\frac{3}{2-x}\right)' - \left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)'\right)$
Теперь найдем производные каждого слагаемого во второй скобке:
Производная первого слагаемого:
$\left(\frac{3}{2-x}\right)' = (3(2-x)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(2-x)^{-2} \cdot (2-x)' = -3(2-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{3}{(2-x)^2}$
Производная второго слагаемого:
$\left(3\cos\frac{x-2}{3}\right)' = 3 \cdot \left(-\sin\frac{x-2}{3}\right) \cdot \left(\frac{x-2}{3}\right)' = -3\sin\frac{x-2}{3} \cdot \frac{1}{3} = -\sin\frac{x-2}{3}$
Подставим найденные производные обратно в выражение для $y'$:
$y' = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{3}{(2-x)^2} - (-\sin\frac{x-2}{3})\right)$
$y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^2}} \cdot \left(\frac{3}{(2-x)^2} + \sin\frac{x-2}{3}\right)$
Запишем итоговый результат в более компактном виде:
$y' = \frac{\frac{3}{(2-x)^2} + \sin\frac{x-2}{3}}{3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^2}}$
Ответ: $y' = \frac{\frac{3}{(2-x)^2} + \sin\frac{x-2}{3}}{3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2-x} - 3\cos\frac{x-2}{3}\right)^2}}$

2) Найдем производную функции $y = 2\sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}} - 5e^{\frac{x-4}{5}}$.
Представим функцию в виде степеней для удобства дифференцирования:
$y = 2\left((x+2)^{-3}\right)^{\frac{1}{4}} - 5e^{\frac{x-4}{5}} = 2(x+2)^{-\frac{3}{4}} - 5e^{\frac{x-4}{5}}$
Производная разности равна разности производных. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого (степенная функция), используя правило $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:
$\left(2(x+2)^{-\frac{3}{4}}\right)' = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)(x+2)^{-\frac{3}{4}-1} \cdot (x+2)' = -\frac{6}{4}(x+2)^{-\frac{7}{4}} \cdot 1 = -\frac{3}{2}(x+2)^{-\frac{7}{4}}$
Производная второго слагаемого (показательная функция), используя правило $(e^u)' = e^u u'$:
$\left(-5e^{\frac{x-4}{5}}\right)' = -5 \cdot \left(e^{\frac{x-4}{5}}\right)' = -5 \cdot e^{\frac{x-4}{5}} \cdot \left(\frac{x-4}{5}\right)' = -5e^{\frac{x-4}{5}} \cdot \frac{1}{5} = -e^{\frac{x-4}{5}}$
Объединим результаты:
$y' = -\frac{3}{2}(x+2)^{-\frac{7}{4}} - e^{\frac{x-4}{5}}$
Можно также записать ответ с использованием корней:
$y' = -\frac{3}{2\sqrt[4]{(x+2)^7}} - e^{\frac{x-4}{5}}$
Ответ: $y' = -\frac{3}{2(x+2)^{7/4}} - e^{\frac{x-4}{5}}$