Номер 829, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 829, страница 245.

Условие.

829 В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону $m = 2l^2 + 3l$, где $l$ — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

2) в конце стержня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Линейная плотность $\rho$ в некоторой точке стержня определяется как производная массы по длине в этой точке. Это физический смысл производной в данном контексте. Если масса части стержня от его начала до точки с координатой $l$ задана функцией $m(l)$, то линейная плотность в точке $l$ равна $\rho(l) = m'(l)$.

В условии задачи дано, что масса стержня (в граммах) распределена по закону $m(l) = 2l^2 + 3l$, где $l$ — длина от начала стержня в сантиметрах.

Для того чтобы найти линейную плотность, нужно найти производную функции $m(l)$ по переменной $l$:

$\rho(l) = m'(l) = (2l^2 + 3l)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$\rho(l) = (2l^2)' + (3l)' = 2 \cdot 2l^{2-1} + 3 \cdot 1l^{1-1} = 4l + 3$.

Таким образом, формула для вычисления линейной плотности в любой точке стержня имеет вид $\rho(l) = 4l + 3$. Единицей измерения линейной плотности будет грамм на сантиметр (г/см).

1) в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;

Чтобы найти линейную плотность в этой точке, нужно подставить значение $l = 3$ см в полученную формулу для $\rho(l)$:

$\rho(3) = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$ г/см.

Ответ: 15 г/см.

2) в конце стержня.

Общая длина стержня составляет 25 см, поэтому его конец соответствует значению $l = 25$ см. Подставим это значение в формулу для линейной плотности:

$\rho(25) = 4 \cdot 25 + 3 = 100 + 3 = 103$ г/см.

Ответ: 103 г/см.