Номер 824, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 824, страница 244.

Условие.

824 При каких значениях $x$ значение производной функции $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ равно 11?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем приравнять ее к 11 и найти соответствующие значения $x$.

1. Находим производную функции $f(x)$

Заданная функция: $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$f(x) = (x^2 - 2x - x + 2)(x - 3) = (x^2 - 3x + 2)(x - 3)$

$f(x) = x(x^2 - 3x + 2) - 3(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6$

Приведя подобные члены, получаем:

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Теперь найдем производную $f'(x)$ от этого многочлена, используя правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1}$:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 11x - 6)' = 3x^{3-1} - 6 \cdot 2x^{2-1} + 11 \cdot 1x^{1-1} - 0$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$

2. Находим значения $x$, при которых $f'(x) = 11$

Теперь приравняем полученное выражение для производной к 11:

$3x^2 - 12x + 11 = 11$

Перенесем 11 в левую часть уравнения:

$3x^2 - 12x + 11 - 11 = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Следовательно, значение производной функции равно 11 при $x = 0$ и $x = 4$.

Ответ: $0; 4$.