Номер 818, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 46. Правила дифференцирования - номер 818, страница 244.

Условие.

Найти производную функции (818—821).

818 1) $\frac{x^3 + x^2 + 16}{x}$;

2) $\frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x}$, сначала упростим выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель. Это позволит избежать использования правила дифференцирования частного и упростит вычисления.

Исходная функция: $y(x) = \frac{x^3 + x^2 + 16}{x}$

Упрощаем функцию:

$y(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} + \frac{16}{x} = x^2 + x + 16x^{-1}$

Теперь находим производную $y'(x)$, применяя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ к каждому слагаемому:

$y'(x) = (x^2)' + (x)' + (16x^{-1})'$

$y'(x) = 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} + 16 \cdot (-1)x^{-1-1}$

$y'(x) = 2x + 1 - 16x^{-2}$

Запишем результат в виде дроби:

$y'(x) = 2x + 1 - \frac{16}{x^2}$

Ответ: $2x + 1 - \frac{16}{x^2}$

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x\sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}}$, также начнем с упрощения выражения. Представим корни в виде степеней с дробными показателями: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Исходная функция: $y(x) = \frac{x \cdot x^{1/3} + 3x + 18}{x^{1/3}} = \frac{x^{1+1/3} + 3x + 18}{x^{1/3}} = \frac{x^{4/3} + 3x + 18}{x^{1/3}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$y(x) = \frac{x^{4/3}}{x^{1/3}} + \frac{3x^1}{x^{1/3}} + \frac{18}{x^{1/3}}$

$y(x) = x^{4/3 - 1/3} + 3x^{1 - 1/3} + 18x^{-1/3} = x^1 + 3x^{2/3} + 18x^{-1/3}$

Теперь найдем производную $y'(x)$ для упрощенной функции, используя правило дифференцирования степенной функции:

$y'(x) = (x)' + (3x^{2/3})' + (18x^{-1/3})'$

$y'(x) = 1 + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{2/3-1} + 18 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-1/3-1}$

$y'(x) = 1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3}$

Можно представить ответ, используя знаки корней:

$y'(x) = 1 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{x^{4/3}} = 1 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} - \frac{6}{x\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $1 + 2x^{-1/3} - 6x^{-4/3}$