Номер 852, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 47. Производные некоторых элементарных функций - номер 852, страница 250.

Условие.

852 Выяснить, при каких значениях $x$ значение производной функции $f(x)$ равно 0:

1) $f(x) = 5 (\sin x - \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x;$

2) $f(x) = 1 - 5 \cos 2x + 2 (\sin x - \cos x) - 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана функция $f(x) = 5(\sin x - \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x$.

Задача состоит в том, чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ равна нулю.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (5\sin x - 5\cos x + \sqrt{2} \cos 5x)'$

$f'(x) = 5(\sin x)' - 5(\cos x)' + \sqrt{2}(\cos 5x)'$

$f'(x) = 5\cos x - 5(-\sin x) + \sqrt{2}(-\sin 5x \cdot 5)$

$f'(x) = 5\cos x + 5\sin x - 5\sqrt{2}\sin 5x$

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$5(\cos x + \sin x) - 5\sqrt{2}\sin 5x = 0$

Разделим обе части на 5:

$\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin 5x$

3. Преобразуем левую часть уравнения с помощью формулы вспомогательного угла: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})$.

Подставим это в уравнение:

$\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin 5x$

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sin 5x$

4. Для решения уравнения применим формулу приведения $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2} - 5x)$

Уравнение вида $\cos A = \cos B$ имеет решения $A = \pm B + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Рассмотрим два случая:

Случай а):

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n$

$6x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{3\pi}{24} + \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$

Случай б):

$x - \frac{\pi}{4} = -(\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k$

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k$

$-4x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-4x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{4} - 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2}, k \in Z$

Поскольку $k$ — любое целое число, то $-k$ также является любым целым числом, поэтому для удобства можно заменить $-k$ на $m$ и записать ответ со знаком плюс: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}, m \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}$, $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in Z$.

2)

Дана функция $f(x) = 1 - 5 \cos 2x + 2(\sin x - \cos x) - 2x$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (1 - 5 \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x - 2x)'$

$f'(x) = 0 - 5(-\sin 2x \cdot 2) + 2(\cos x - (-\sin x)) - 2$

$f'(x) = 10\sin 2x + 2(\cos x + \sin x) - 2$

2. Приравняем производную к нулю:

$10\sin 2x + 2(\cos x + \sin x) - 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$5\sin 2x + \cos x + \sin x - 1 = 0$

3. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$5(2\sin x \cos x) + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

$10\sin x \cos x + (\sin x + \cos x) - 1 = 0$

4. Введем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим $2\sin x \cos x = t^2 - 1$, тогда $10\sin x \cos x = 5(t^2 - 1)$.

Подставим замену в уравнение:

$5(t^2 - 1) + t - 1 = 0$

$5t^2 - 5 + t - 1 = 0$

$5t^2 + t - 6 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 11}{10}$.

$t_1 = \frac{10}{10} = 1$

$t_2 = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$

6. Вернемся к исходной переменной $x$. Область значений выражения $t = \sin x + \cos x$ равна $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Оба корня ($t_1 = 1$ и $t_2 = -1.2$) принадлежат этому промежутку, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Случай а): $t = 1$

$\sin x + \cos x = 1$

Преобразуем: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Получаем две серии решений:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in Z$

$x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$

Случай б): $t = -6/5$

$\sin x + \cos x = -\frac{6}{5}$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{6}{5} \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{6}{5\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{5}$.

Общее решение этого уравнения:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-\frac{3\sqrt{2}}{5}) + \pi k, k \in Z$

Используя $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:

$x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^k \arcsin(\frac{3\sqrt{2}}{5}) + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} - (-1)^k \arcsin(\frac{3\sqrt{2}}{5}) + \pi k$ или $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3\sqrt{2}}{5}) + \pi k, k \in Z$.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3\sqrt{2}}{5}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.