Номер 859, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 859, страница 255.

Условие.

859 Найти угол между касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $Ox$:

1) $f (x) = \frac{1}{3} x^3, x_0 = 1;$

2) $f (x) = \frac{1}{x}, x_0 = 1;$

3) $f (x) = 2\sqrt{x}, x_0 = 3;$

4) $f (x) = \frac{18}{\sqrt{x}}, x_0 = 3;$

5) $f (x) = e^{\frac{3x+1}{2}}, x_0 = 0;$

6) $f (x) = \ln (2x + 1), x_0 = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси $Ox$ определяется из соотношения $\tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $f'(x_0)$ — это значение производной функции (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0$. Искомый угол $\alpha$ обычно находят в диапазоне $[0, \pi)$, то есть от $0^\circ$ до $180^\circ$.

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3, x_0 = 1$

Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = 1^2 = 1$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = 1$.
Отсюда, угол $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 1$

Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -1$.
Угол $\alpha$ из промежутка $[0^\circ, 180^\circ)$, тангенс которого равен -1, составляет $135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

3) $f(x) = 2\sqrt{x}, x_0 = 3$

Находим производную функции: $f'(x) = (2\sqrt{x})' = (2x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$: $f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Отсюда, угол $\alpha = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

4) $f(x) = \frac{18}{\sqrt{x}}, x_0 = 3$

Находим производную функции: $f'(x) = (\frac{18}{\sqrt{x}})' = (18x^{-1/2})' = 18 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -9x^{-3/2} = -\frac{9}{x\sqrt{x}}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 3$: $f'(3) = -\frac{9}{3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$.
Угол $\alpha$ из промежутка $[0^\circ, 180^\circ)$, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$, составляет $120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}, x_0 = 0$

Находим производную сложной функции: $f'(x) = (e^{\frac{3x+1}{2}})' = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot (\frac{3x+1}{2})' = \frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0$: $f'(0) = \frac{3}{2}e^{\frac{3 \cdot 0+1}{2}} = \frac{3}{2}e^{1/2} = \frac{3\sqrt{e}}{2}$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = \frac{3\sqrt{e}}{2}$.
Отсюда, угол $\alpha = \arctan(\frac{3\sqrt{e}}{2})$.
Ответ: $\arctan(\frac{3\sqrt{e}}{2})$.

6) $f(x) = \ln(2x+1), x_0 = 2$

Находим производную сложной функции: $f'(x) = (\ln(2x+1))' = \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = \frac{2}{2x+1}$.
Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$: $f'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2+1} = \frac{2}{5}$.
Тангенс угла наклона касательной $\tan(\alpha) = \frac{2}{5}$.
Отсюда, угол $\alpha = \arctan(\frac{2}{5})$.
Ответ: $\arctan(\frac{2}{5})$.