Номер 864, страница 256 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 864, страница 256.

Условие.

864 Под каким углом пересекаются графики функций (угол между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):

1) $y = 8 - x$ и $y = 4 \sqrt{x + 4}$;

2) $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$;

3) $y = \ln (1 + x)$ и $y = \ln (1 - x)$;

4) $y = e^x$ и $y = e^{-x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Угол между кривыми в точке их пересечения определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в этой точке. Угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной к оси Ox) равен значению производной функции в точке касания, $k = y'(x_0)$. Угол $\phi$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ находится по формуле $\tan \phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$. Если произведение угловых коэффициентов $k_1 k_2 = -1$, то прямые перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

1) $y = 8 - x$ и $y = 4\sqrt{x + 4}$

Сначала найдем точку пересечения графиков функций. Для этого приравняем их:

$8 - x = 4\sqrt{x + 4}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$ и $8 - x \ge 0 \implies x \le 8$. Таким образом, $x \in [-4, 8]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(8 - x)^2 = (4\sqrt{x + 4})^2$

$64 - 16x + x^2 = 16(x + 4)$

$x^2 - 16x + 64 = 16x + 64$

$x^2 - 32x = 0$

$x(x - 32) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$. Корень $x_2=32$ не входит в ОДЗ. Следовательно, точка пересечения одна, при $x_0 = 0$.

Найдем ординату точки пересечения: $y_0 = 8 - 0 = 8$. Точка пересечения $M(0, 8)$.

Теперь найдем производные функций:

$y_1 = 8 - x \implies y_1' = -1$

$y_2 = 4\sqrt{x + 4} \implies y_2' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $M(0, 8)$:

$k_1 = y_1'(0) = -1$

$k_2 = y_2'(0) = \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{2}{2} = 1$

Проверим условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = -1 \cdot 1 = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, касательные перпендикулярны, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2$ и $y = \frac{1}{2}(x-1)^2$

Найдем точку пересечения, приравняв функции:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 = \frac{1}{2}(x-1)^2$

$(x+1)^2 = (x-1)^2$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$4x = 0 \implies x_0 = 0$

Найдем ординату: $y_0 = \frac{1}{2}(0+1)^2 = \frac{1}{2}$. Точка пересечения $M(0, 1/2)$.

Найдем производные функций:

$y_1 = \frac{1}{2}(x+1)^2 \implies y_1' = \frac{1}{2} \cdot 2(x+1) = x+1$

$y_2 = \frac{1}{2}(x-1)^2 \implies y_2' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1) = x-1$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $M(0, 1/2)$:

$k_1 = y_1'(0) = 0+1 = 1$

$k_2 = y_2'(0) = 0-1 = -1$

Произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

3) $y = \ln(1+x)$ и $y = \ln(1-x)$

Найдем точку пересечения:

$\ln(1+x) = \ln(1-x)$

Так как логарифмическая функция монотонна, равенство аргументов обязательно:

$1+x = 1-x$

$2x = 0 \implies x_0 = 0$

Найдем ординату: $y_0 = \ln(1+0) = \ln(1) = 0$. Точка пересечения $M(0, 0)$.

Найдем производные:

$y_1 = \ln(1+x) \implies y_1' = \frac{1}{1+x}$

$y_2 = \ln(1-x) \implies y_2' = \frac{1}{1-x} \cdot (-1) = -\frac{1}{1-x}$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $M(0, 0)$:

$k_1 = y_1'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$k_2 = y_2'(0) = -\frac{1}{1-0} = -1$

Произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.

4) $y = e^x$ и $y = e^{-x}$

Найдем точку пересечения:

$e^x = e^{-x}$

Поскольку показательная функция $y=e^t$ монотонна, равенство возможно только при равенстве показателей:

$x = -x$

$2x = 0 \implies x_0 = 0$

Найдем ординату: $y_0 = e^0 = 1$. Точка пересечения $M(0, 1)$.

Найдем производные:

$y_1 = e^x \implies y_1' = e^x$

$y_2 = e^{-x} \implies y_2' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

Вычислим угловые коэффициенты касательных в точке $M(0, 1)$:

$k_1 = y_1'(0) = e^0 = 1$

$k_2 = y_2'(0) = -e^{-0} = -1$

Произведение угловых коэффициентов: $k_1 \cdot k_2 = 1 \cdot (-1) = -1$.

Касательные перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.