Номер 857, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 857, страница 255.

Условие.

857 Найти значения $k$ и $b$, если прямая $y = kx + b$ проходит через точку $(x_0; y_0)$ и образует с осью $Ox$ угол $\alpha$:

1) $\alpha = \frac{\pi}{4}, x_0 = 2, y_0 = -3;$

2) $\alpha = \frac{\pi}{4}, x_0 = -3, y_0 = 2;$

3) $\alpha = -\frac{\pi}{3}, x_0 = 1, y_0 = 1;$

4) $\alpha = -\frac{\pi}{6}, x_0 = -1, y_0 = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + b$ равен тангенсу угла наклона $\alpha$ к оси $Ox$, то есть $k = \tan(\alpha)$. Поскольку прямая проходит через точку $(x_0; y_0)$, ее координаты удовлетворяют уравнению, из которого можно найти $b$: $y_0 = kx_0 + b \implies b = y_0 - kx_0$.

1) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{4}, x_0 = 2, y_0 = -3$.

Находим угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(\alpha) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Находим коэффициент $b$:
$b = y_0 - kx_0 = -3 - 1 \cdot 2 = -3 - 2 = -5$.

Ответ: $k = 1, b = -5$.

2) Дано: $\alpha = \frac{\pi}{4}, x_0 = -3, y_0 = 2$.

Находим угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(\alpha) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Находим коэффициент $b$:
$b = y_0 - kx_0 = 2 - 1 \cdot (-3) = 2 + 3 = 5$.

Ответ: $k = 1, b = 5$.

3) Дано: $\alpha = -\frac{\pi}{3}, x_0 = 1, y_0 = 1$.

Находим угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(\alpha) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.

Находим коэффициент $b$:
$b = y_0 - kx_0 = 1 - (-\sqrt{3}) \cdot 1 = 1 + \sqrt{3}$.

Ответ: $k = -\sqrt{3}, b = 1 + \sqrt{3}$.

4) Дано: $\alpha = -\frac{\pi}{6}, x_0 = -1, y_0 = -1$.

Находим угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(\alpha) = \tan\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим коэффициент $b$:
$b = y_0 - kx_0 = -1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot (-1) = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}, b = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.