Номер 858, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 8. Производная и её геометрический смысл. Параграф 48. Геометрический смысл производной - номер 858, страница 255.

Условие.

858 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f (x) = x^3, x_0 = 1;$

2) $f (x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

3) $f (x) = \ln x, x_0 = 1;$

4) $f (x) = e^x, x_0 = \ln 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^3$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

Ответ: $3$.

2) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$k = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = \ln x$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

4) Дана функция $f(x) = e^x$ и точка $x_0 = \ln 3$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \ln 3$:

$k = f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$.

Ответ: $3$.